《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. (人教九上 P14)解下列方程:
(1)$4x^{2}-121= 0$; 解：$ 4x^{2}=121 $，$ x^{2}=\frac{121}{4} $，$ x=\pm \sqrt{\frac{121}{4}} $，$ x_{1}=\frac{11}{2}, x_{2}=-\frac{11}{2} $(2)$3x(2x+1)= 4x+2$;解：$ 6x^{2}+3x=4x+2 $，$ 6x^{2}-x-2=0 $，$ (3x-2)(2x+1)=0 $，$ 3x-2=0 $ 或 $ 2x+1=0 $，$ x_{1}=\frac{2}{3}, x_{2}=-\frac{1}{2} $

答案： 解：
(1) $ 4x^{2}=121 $，
$ x^{2}=\frac{121}{4} $，
$ x=\pm \sqrt{\frac{121}{4}} $，
$ x_{1}=\frac{11}{2}, x_{2}=-\frac{11}{2} $；
(2) $ 6x^{2}+3x=4x+2 $，
$ 6x^{2}-x-2=0 $，
$ (3x-2)(2x+1)=0 $，
$ 3x-2=0 $ 或 $ 2x+1=0 $，
$ x_{1}=\frac{2}{3}, x_{2}=-\frac{1}{2} $。

2. (北师九上 P51)已知方程$5x^{2}+kx-6= 0$的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值.

答案： 解：设方程的另一个根为 $ t $。
根据题意，得 $ 2+t=-\frac{k}{5}, 2t=-\frac{6}{5} $，
解得 $ t=-\frac{3}{5}, k=-7 $。
∴ 方程的另一个根为 $ -\frac{3}{5}, k $ 的值为 $ -7 $。

3. (人教九上 P17)无论 p 取何值,方程$(x-3)\cdot (x-2)-p^{2}= 0$总有两个不等的实数根吗?给出答案并说明理由.

答案： 解：方程总有两个不等的实数根。理由如下：
方程整理，得 $ x^{2}-5x+6-p^{2}=0 $，
$ \Delta=25-4(6-p^{2})=1+4p^{2}＞0 $。
∴ 无论 $ p $ 取何值，方程 $ (x-3)(x-2)-p^{2}=0 $ 总有两个不等的实数根。

4. (人教九上 P22)一个菱形两条对角线长的和是 10 cm,面积是$12cm^{2}$,求菱形的周长.

答案：
解：如答图，四边形 $ ABCD $ 是菱形 $ (BD＜AC) $。

设 $ BD $ 的长为 $ x \mathrm{cm} $，则 $ AC $ 的长为 $ (10-x) \mathrm{cm} $。
依题意，得 $ \frac{1}{2}x(10-x)=12 $，
解得 $ x_{1}=4, x_{2}=6 $（不合题意，舍去），
∴ $ BD=4 \mathrm{cm}, AC=6 \mathrm{cm} $。
∵ 四边形 $ ABCD $ 为菱形，
∴ $ \angle AOB=90^{\circ}, OA=\frac{1}{2}AC=3 \mathrm{cm} $，
$ OB=\frac{1}{2}BD=2 \mathrm{cm} $，
∴ $ AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}(\mathrm{cm}) $。
∴ 这个菱形的周长为 $ 4 \sqrt{13} \mathrm{cm} $。

5. (人教九上 P26 拓广探索)(运算能力、模型观念、应用意识)一个小球以 5 m/s 速度开始向前滚动,并且均匀减速,4 s 后小球停止滚动.
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少?
(2)小球滚动 5 m 约用了多少秒(结果保留小数点后一位)?

答案： 解：
(1) $ 5 ÷ 4=1.25(\mathrm{m} / \mathrm{s}) $。
答：小球的滚动速度平均每秒减少 $ 1.25 \mathrm{m} $。
(2) 设小球滚动 $ 5 \mathrm{m} $ 约用了 $ x \mathrm{s} $，由题意得 $ x \cdot \frac{5+(5-1.25x)}{2}=5 $，
解得 $ x=4 \pm 2 \sqrt{2} $，
$ \because x＜4, \therefore x=4-2 \sqrt{2} \approx 1.2(\mathrm{s}) $。
答：小球滚动 $ 5 \mathrm{m} $ 约用了 $ 1.2 \mathrm{s} $。

6. (人教九上 P22 拓广探索)(几何直观、模型观念、应用意识)如图,要设计一幅宽 20 cm,长 30 cm 的图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为$3:2$.如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一,应如何设计彩条的宽度(结果保留小数点后一位)?

应设计横彩条的宽度约为1.8cm，竖彩条的宽度约为1.2cm。

答案： 解：设横彩条的宽度是 $ 3x \mathrm{cm} $，竖彩条的宽度是 $ 2x \mathrm{cm} $，
由题意，得 $ (20-2 × 3x)(30-2 × 2x)=(1-\frac{1}{4}) × 20 × 30 $，
$ (20-6x)(30-4x)=450 $，
解得 $ x_{1} \approx 0.61, x_{2} \approx 10.22 $（不合题意，舍去），
则 $ 3 × 0.61 \approx 1.8(\mathrm{cm}), 2 × 0.61 \approx 1.2(\mathrm{cm}) $。
答：应设计横彩条的宽度约为 $ 1.8 \mathrm{cm} $，竖彩条的宽度约为 $ 1.2 \mathrm{cm} $。