《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. (人教九上 P59 教材改编)如图,杠杆绕支点转动撬起重物,杠杆的旋转中心是点O,旋转角是$∠AOA'$或$∠BOB'$.

答案： O $∠AOA'$或$∠BOB'$

2. (人教九上 P63 教材改编)以原点为中心,将点$A(4,5)逆时针旋转90^{\circ }得到点B$,则点$B$的坐标为$(-5,4)$.

答案： $(-5,4)$

3. (人教九上 P63)把图中的五角星图案,绕着它的中心$O$旋转,旋转角至少为72°时,旋转后的五角星能与自身重合? 对等边三角形进行类似的讨论,旋转角至少为120°时,旋转后的等边三角形能与自身重合.

答案： 解：五角星绕着它的中心O至少旋转$\frac {360^{\circ }}{5}=72^{\circ }$能与自身重合，等边三角形绕着它的中心至少旋转$\frac {360^{\circ }}{3}=120^{\circ }$能与自身重合.

4. (人教九上 P70)如图,$O_{1},O_{2}$分别是两个半圆的圆心,这个图形是中心对称图形吗? 如果不是,请说明理由;如果是,请指出对称中心.

解：这个图形是中心对称图形.对称中心是线段$O_{1}O_{2}$的中点.

答案： 解：这个图形是中心对称图形.对称中心是线段$O_{1}O_{2}$的中点.

5. (人教九上 P77)如图,(1)中的梯形符合什么条件时,可以经过旋转和轴对称形成(2)中的图案?

当（1）中的梯形是底角为$60^{\circ }$的等腰梯形，而且梯形的上底和腰相等时

答案： 解：当（1）中的梯形是底角为$60^{\circ }$的等腰梯形，而且梯形的上底和腰相等时，可以经过旋转和轴对称形成（2）中的图案.

6. (人教九上 P63)如图,在$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$.
(1)将$\triangle ABC绕点B逆时针旋转90^{\circ }$,画出旋转后的三角形;
(2)若$BC= 3,AC= 4$,点$A旋转后的对应点为A'$,求$A'A$的长.

答案：
解：（1）如答图，$△BA'C'$即为所求.

（2）在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ },BC=3,AC=4,$
$\therefore AB=\sqrt {BC^{2}+AC^{2}}=\sqrt {3^{2}+4^{2}}=5.$
$\because △ABC$绕点B逆时针旋转$90^{\circ }$得到$△BA'C',$
$\therefore BA'=BA=5,∠A'BA=90^{\circ }.$
$\therefore A'A=\sqrt {BA'^{2}+BA^{2}}=\sqrt {5^{2}+5^{2}}=5\sqrt {2}.$

7. (人教八下 P63、北师九上 P25 教材改编)(转化思想)如图,已知正方形$OMNP与正方形ABCD$全等,且边长为$2$,$AC与BD交于点O$,正方形$OMNP绕点O$旋转,$OM交AB于点E$,$OP交BC于点F$.
(1)求证:$\triangle OBF\cong \triangle OAE$;
证明：∵正方形的对角线交于点O，
$\therefore AO=BO,∠OAB=∠OBF=45^{\circ }.$
$\because ∠AOB=∠AOE+∠BOE$
$=∠EOF=∠BOF+∠BOE$
$=90^{\circ },$
$\therefore ∠BOF=∠EOA.$
在$△OBF$和$△OAE$中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠OBF=∠OAE,\\ BO=AO,\\ ∠BOF=∠AOE,\end{array}\right. $
$\therefore △OBF\cong △OAE$(ASA);
(2)求证:$BE+BF= $2;
证明：由（1）知$△AEO\cong △BFO.$
$\therefore AE=BF.$
$\therefore BE+BF=BE+AE=AB=2;$
(3)求四边形$OEBE$的周长最小值.
解：由（1）知$△AEO\cong △BFO.$
$\therefore AE=BF,OE=OF.$
$\therefore$ 四边形OEBF的周长为
$OE+BE+BF+OF=2OE+AB=2OE+2.$
∵当$OE⊥AB$时，其值最小，为1，
$\therefore$ 四边形OEBF周长的最小值为4.

答案： 证明：（1）
∵正方形的对角线交于点O，
$\therefore AO=BO,∠OAB=∠OBF=45^{\circ }.$
$\because ∠AOB=∠AOE+∠BOE$
$=∠EOF=∠BOF+∠BOE$
$=90^{\circ },$
$\therefore ∠BOF=∠EOA.$
在$△OBF$和$△OAE$中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠OBF=∠OAE,\\ BO=AO,\\ ∠BOF=∠AOE,\end{array}\right. $
$\therefore △OBF\cong △OAE(ASA);$
（2）由（1）知$△AEO\cong △BFO.$
$\therefore AE=BF.$
$\therefore BE+BF=BE+AE=AB=2;$
（3）解：由（1）知$△AEO\cong △BFO.$
$\therefore AE=BF,OE=OF.$
$\therefore$ 四边形OEBF的周长为
$OE+BE+BF+OF=2OE+AB=2OE+2.$
∵当$OE⊥AB$时，其值最小，为1，
$\therefore$ 四边形OEBF周长的最小值为$2×1+2=4.$