《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. (北师大九上 P80)已知$\frac {a}{b}= \frac {c}{d}= \frac {2}{3}(b+d≠$0),求$\frac {a+c}{b+d}$的值.
解：∵ $\frac { a } { b } = \frac { c } { d } = \frac { 2 } { 3 } ( b + d \neq 0 )$，
∴ 设 $a = 2 x$，$b = 3 x ( x \neq 0 )$，$c = 2 y$，$d = 3 y ( y \neq 0 )$，
∴ $\frac { a + c } { b + d } = \frac { 2 x + 2 y } { 3 x + 3 y } = \frac { 2 } { 3 }$．

答案： 解：
∵ $\frac { a } { b } = \frac { c } { d } = \frac { 2 } { 3 } ( b + d \neq 0 )$，
∴ 设 $a = 2 x$，$b = 3 x ( x \neq 0 )$，$c = 2 y$，$d = 3 y ( y \neq 0 )$，
∴ $\frac { a + c } { b + d } = \frac { 2 x + 2 y } { 3 x + 3 y } = \frac { 2 } { 3 }$．

2. (人教九下 P44)如图,$△ABC$中,CD 是边 AB上的高,且$\frac {AD}{CD}= \frac {CD}{BD}$,求$∠ACB$的大小.


解：∵ $CD$ 是边 $AB$ 上的高，
∴ $\angle A D C = \angle C D B = 9 0 ^ { \circ }$．
又∵ $\frac { A D } { C D } = \frac { C D } { B D }$，
∴ $\triangle A D C \backsim \triangle C D B$．∴ $\angle A = \angle D C B$．
∵ $\angle A + \angle A C D = 9 0 ^ { \circ }$，
∴ $\angle D C B + \angle A C D = 9 0 ^ { \circ }$，即 $\angle A C B =$$90^{\circ}$．

答案： 解：
∵ $CD$ 是边 $AB$ 上的高，
∴ $\angle A D C = \angle C D B = 9 0 ^ { \circ }$．
又
∵ $\frac { A D } { C D } = \frac { C D } { B D }$，
∴ $\triangle A D C \backsim \triangle C D B$．
∴ $\angle A = \angle D C B$．
∵ $\angle A + \angle A C D = 9 0 ^ { \circ }$，
∴ $\angle D C B + \angle A C D = 9 0 ^ { \circ }$，即 $\angle A C B = 9 0 ^ { \circ }$．

3. (人教九下 P43)如图,四边形 ABCD 是矩形,点 F 在对角线 AC 上运动,$EF// BC,FG// CD,$四边形 AEFG 和矩形 ABCD 一直保持相似吗?证明你的结论.

解：一直保持相似．
证明：∵ $E F // B C$，$F G // C D$，
∴ $\triangle A E F \backsim \triangle A B C$，$\triangle A F G \backsim \triangle A C D$，
∴ $\frac { A E } { A B } = \frac { E F } { B C } = \frac { A F } { A C }$，$\frac { A G } { A D } = \frac { F G } { C D } = \frac { A F } { A C }$，
∴ $\frac { A E } { A B } = \frac { E F } { B C } = \frac { A G } { A D } = \frac { F G } { C D }$，
∵ 四边形 $A B C D$ 是矩形，$E F // B C$，$F G // C D$，
∴ $\angle B A D = \angle B = \angle B C D = \angle D = \angle A E F = \angle E F G = \angle A G F = 9 0 ^ { \circ }$．
∴ 四边形 $A E F G \backsim$ 矩形 $A B C D$．
∴ 四边形 $A E F G$ 和矩形 $A B C D$ 一直保持相似．

答案： 解：一直保持相似．
证明：
∵ $E F // B C$，$F G // C D$，
∴ $\triangle A E F \backsim \triangle A B C$，$\triangle A F G \backsim \triangle A C D$，
∴ $\frac { A E } { A B } = \frac { E F } { B C } = \frac { A F } { A C }$，$\frac { A G } { A D } = \frac { F G } { C D } = \frac { A F } { A C }$，
∴ $\frac { A E } { A B } = \frac { E F } { B C } = \frac { A G } { A D } = \frac { F G } { C D }$，
∵ 四边形 $A B C D$ 是矩形，$E F // B C$，$F G // C D$，
∴ $\angle B A D = \angle B = \angle B C D = \angle D = \angle A E F = \angle E F G = \angle A G F = 9 0 ^ { \circ }$．
∴ 四边形 $A E F G \backsim$ 矩形 $A B C D$．
∴ 四边形 $A E F G$ 和矩形 $A B C D$ 一直保持相似．

4. (北师九上 P105)如图,AB 表示一个窗户的高,AM 和 BN 表示射入室内的光线,窗户的下端到地面的距离$BC= 1m$.已知某一时刻BC 在地面的影长$CN= 1.5m$,AC 在地面的影长$CM= 4.5m$,求窗户的高度.

解：由太阳光线是平行线，可得 $A M // B N$，
∴ $\angle A M C = \angle B N C$，
∵ $\angle B C N = \angle A C M$，
∴ $\triangle B C N \backsim \triangle A C M$，
∴ $\frac { B C } { A C } = \frac { N C } { M C }$，即 $\frac { 1 } { A C } = \frac { 1.5 } { 4.5 }$，
解得 $A C =$3，
∴ $A B = A C - B C =$3$- $1$=$2$( \mathrm { m } )$．
答：窗户的高度为2$\mathrm { m }$．

答案： 解：由太阳光线是平行线，可得 $A M // B N$，
∴ $\angle A M C = \angle B N C$，
∵ $\angle B C N = \angle A C M$，
∴ $\triangle B C N \backsim \triangle A C M$，
∴ $\frac { B C } { A C } = \frac { N C } { M C }$，即 $\frac { 1 } { A C } = \frac { 1.5 } { 4.5 }$，
解得 $A C = 3$，
∴ $A B = A C - B C = 3 - 1 = 2 ( \mathrm { m } )$．
答：窗户的高度为 $2 \mathrm { m }$．

5. (人教九下 P42 教材改编)如图,在$△ABC$中,D,E,F 分别是 AB,AC,BC 边上的点,且$DE// BC,EF// AB,AB= 15,BC= 20.$
(1)若$\frac {AD}{DB}= \frac {2}{3}$,求 BF 的长;8
(2)若四边形 BDEF 是菱形,求 BF 的长.$\frac {60}{7}$

答案： 解：（1）
∵ $D E // B C$，$E F // A B$，
∴ 四边形 $B D E F$ 是平行四边形．
∴ $B F = D E$．
∵ $\frac { A D } { D B } = \frac { 2 } { 3 }$，
∴ $\frac { A D } { A B } = \frac { 2 } { 5 }$，
∵ $D E // B C$，
∴ $\triangle A D E \backsim \triangle A B C$，
∴ $\frac { D E } { B C } = \frac { A D } { A B } = \frac { 2 } { 5 }$，即 $\frac { D E } { 20 } = \frac { 2 } { 5 }$，
解得 $D E = 8$，
∴ $B F = 8$．
（2）
∵ 四边形 $B D E F$ 是菱形，
∴ $B D = B F = D E$，
∵ $D E // B C$，
∴ $\triangle A D E \backsim \triangle A B C$，
∴ $\frac { A D } { A B } = \frac { D E } { B C }$，
∵ $A D = A B - B D = 15 - B D = 15 - D E$，
∴ $\frac { 15 - D E } { 15 } = \frac { D E } { 20 }$，
解得 $D E = \frac { 60 } { 7 }$，
∴ $B F = \frac { 60 } { 7 }$．

6. (北师九上 P102)如图,在$△ABC$中,$AB= 8 cm$,$BC= 16cm$,动点 P 从点 A 开始沿 AB边运动,速度为 2 cm/s;动点 Q 从点 B 开始沿 BC 边运动,速度为 4 cm/s. 如果 P,Q 两动点同时运动,那么何时$△QBP与△ABC$相似?

经过0.8 s或2 s时，$\triangle Q B P$ 与 $\triangle A B C$ 相似．

答案： 解：设经过 $t \mathrm { s }$ 时，$\triangle Q B P$ 与 $\triangle A B C$ 相似，则 $A P = 2 t \mathrm { cm }$，$B P = ( 8 - 2 t ) \mathrm { cm }$，$B Q = 4 t \mathrm { cm }$．
∵ $\angle P B Q = \angle A B C$，
当 $\frac { B P } { B A } = \frac { B Q } { B C }$ 时，$\triangle B P Q \backsim \triangle B A C$，
∴ $\frac { 8 - 2 t } { 8 } = \frac { 4 t } { 16 }$，解得 $t = 2$；
当 $\frac { B P } { B C } = \frac { B Q } { B A }$ 时，$\triangle B P Q \backsim \triangle B C A$，
∴ $\frac { 8 - 2 t } { 16 } = \frac { 4 t } { 8 }$，解得 $t = 0.8$．
综上所述，经过 $0.8 \mathrm { s }$ 或 $2 \mathrm { s }$ 时，$\triangle Q B P$ 与 $\triangle A B C$ 相似．