《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.(人教九上P51教材改编)某种商品每件的进价为40元,在某段时间内若以每件x元($40\leqslant x\leqslant80$,且x为整数)出售,可卖出($100 - x$)件.
(1)写出这段时间内所得的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)销售单价为多少元时,这段时间内的销售利润最大?

答案： 解：
(1) $ y=(x - 40)(100 - x) $，
即 $ y = -(x - 70)^2 + 900(40 \leq x \leq 80) $。
(2) 销售单价为 70 元时，这段时间内的销售利润最大。

【例题1】某商场在销售中发现,某款运动鞋平均每天可售出20双,每双盈利40元,为了迎接奥运会,商场决定扩大销量,减少库存,如果每双降价1元,那么每天可多售出2双.
(1)要想平均每天销售盈利1200元,那么每双运动鞋应降价多少元?
(2)当每双降价多少元时,可获得最大利润?最大利润是多少?

答案： 解：
(1) 设每双运动鞋应降价 $ x $ 元，
根据题意，得 $ (40 - x)(20 + 2x) = 1200 $，解得 $ x_1 = 20 $，$ x_2 = 10 $。
∵ 要扩大销量，减少库存，
∴ 每双运动鞋应降价 20 元；
(2) 设每天该款运动鞋的销售利润为 $ y $ 元，每双应降价为 $ a $ 元，
则 $ y = (40 - a)(20 + 2a) = -2a^2 + 60a + 800 = -2(a - 15)^2 + 1250 $，
∴ 当每双运动鞋降价 15 元时，能获得最大利润，最大利润为 1250 元。

【变式1】(2024·广东)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”,2023年农产品进出口总额居全国首位,其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝,销往国外,若按每吨5万元出售,平均每天可售出100吨.市场调查反映:如果每吨降价1万元,每天销售量相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大?并求出其最大值.(题中“元”为人民币)

答案： 解：设该果商定价 $ x $ 万元时每天的“利润”为 $ w $ 万元，每天的“销售收入”为 $ y $ 万元，
$ w = (x - 2)[100 + 50(5 - x)] $
$ = -50(x - 4.5)^2 + 312.5 $，
∵ $ -50 ＜ 0 $，
∴ 当 $ x ＞ 4.5 $ 时，$ w $ 随 $ x $ 的增大而减小，
∴ 当 $ x = 4.5 $ 时，$ w $ 有最大值，最大值为 312.5 万元；
$ y = x[100 + 50(5 - x)] $
$ = -50(x - 3.5)^2 + 612.5 $，
∵ $ -50 ＜ 0 $，
∴ $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，
∴ 当 $ x = 3.5 $ 时，$ y $ 有最大值，最大值为 612.5 万元，
答：该果商定价为 4.5 万元时才能使每天的“利润”最大，其最大值为 312.5 万元；
该果商定价为 3.5 万元时才能使每天的“销售收入”最大，其最大值为 612.5 万元。

【例题2】某市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克,成本为每千克30元,物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍,经试销发现,日销售量y(单位:千克)与销售单价x(单位:元/千克)之间满足一次函数关系,图象如图所示.
(1)求y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)若该经销商在销售过程中每天还要支付其他费用450元,则销售单价为______元/千克时,每天的销售利润最大?最大利润是______元?
解：(1) 设 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式为 $ y = kx + b $，由图象可知，当 $ x = 30 $ 时，$ y = 140 $；$ x = 50 $ 时，$ y = 100 $，
∴ $ \begin{cases} 140 = 30k + b \\ 100 = 50k + b \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} k = -2 \\ b = 200 \end{cases} $，
∴ $ y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式为 $ y = $$-2x + 200$($30 \leq x \leq 60$)；
(2) 设每天的销售利润为 $ W $ 元，由题意，得
$ W = (x - 30) \cdot (-2x + 200) - 450 $
$ = -2(x - 65)^2 + 2000 $。
∵ $ -2 ＜ 0 $，∴ 当 $ x ＜ 65 $ 时，$ W $ 随 $ x $ 的增大而增大。
∵ $ 30 \leq x \leq 60 $，∴ 当 $ x = 60 $ 时，$ W $ 有最大值 1950。
答：销售单价为60元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润为1950元。

答案： 解：
(1) 设 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式为 $ y = kx + b $，由图象可知，当 $ x = 30 $ 时，$ y = 140 $；$ x = 50 $ 时，$ y = 100 $，
∴ $ \begin{cases} 140 = 30k + b \\ 100 = 50k + b \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} k = -2 \\ b = 200 \end{cases} $，
∴ $ y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式为 $ y = -2x + 200(30 \leq x \leq 60) $；
(2) 设每天的销售利润为 $ W $ 元，由题意，得
$ W = (x - 30) \cdot (-2x + 200) - 450 $
$ = -2(x - 65)^2 + 2000 $。
∵ $ -2 ＜ 0 $，
∴ 当 $ x ＜ 65 $ 时，$ W $ 随 $ x $ 的增大而增大。
∵ $ 30 \leq x \leq 60 $，
∴ 当 $ x = 60 $ 时，$ W $ 有最大值 1950。
答：销售单价为 60 元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润为 1950 元。

【变式2】某超市以每件10元的价格购进一种文具,销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元.经过市场调查发现,该文具的每天销售数量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,部分数据如下表所示.
|销售单价x/元|…|12|13|14|…|
|每天销售数量y/件|…|36|34|32|…|
(1)直接写出y与x之间的函数关系式;
(2)设销售这种文具每天获利w(元),当销售单价为多少元时,每天获利最大?最大利润是多少元?

答案： 解：
(1) 设 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为 $ y = kx + b(k \neq 0) $，
将 $ (12, 36) $，$ (13, 34) $ 代入，得 $ \begin{cases} 36 = 12k + b \\ 34 = 13k + b \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} k = -2 \\ b = 60 \end{cases} $。
∴ $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为：$ y = -2x + 60 $。
(2) 由题意，得：$ w = (x - 10)(-2x + 60) = -2(x - 20)^2 + 200(10 \leq x \leq 19) $，
∵ $ -2 ＜ 0 $，对称轴为直线 $ x = 20 $，
∴ 当 $ 10 \leq x \leq 19 $ 时，$ w $ 随 $ x $ 的增大而增大。
∴ 当 $ x = 19 $ 时，$ w $ 有最大值，
$ w_{\text{最大值}} = -2(19 - 20)^2 + 200 = 198 $。
答：当销售单价为 19 元时，每天获利最大，最大利润是 198 元。

1.商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利45元,为了扩大销售、增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出4件,若要使商场平均每天盈利最大,则每件衬衫应降价20元.

答案： 20 解析：设每件衬衫降价 $ x $ 元，商场平均每天盈利为 $ y $ 元，$ y = (45 - x)(20 + 4x) $，
∴ $ y = -4x^2 + 160x + 900 = -4(x - 20)^2 + 2500 $，
∴ 当 $ x = 20 $ 时，$ y $ 取得最大值，此时 $ y = 2500 $。

2.(人教九上P52教材改编)某宾馆有50个房间供游客住宿.若每个房间每天的定价为180元,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲,另外宾馆需对每个居住房间每天支出20元的各种费用.每个房间每天的房价定为350元时,宾馆利润最大.

答案： 350 解析：设每个房间每天的定价增加 $ x $ 元，宾馆所得利润为 $ y $ 元，则 $ y = (180 + x - 20) \cdot (50 - \frac{x}{10}) = -\frac{1}{10}x^2 + 34x + 8000 $，其中 $ 0 \leq x \leq 500 $，且 $ x $ 为 10 的倍数，当 $ x = -\frac{b}{2a} = 170 $ 时，即每个房间每天的房价定为 $ 180 + 170 = 350 $（元）时，宾馆利润最大。