《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.如图,已知BE是⊙O的直径,BC切⊙O于点B,弦DE//OC,连接CD并延长交BE的延长线于点A.证明：CD是⊙O的切线.

答案：
证明:如图，连接OD.

∵ED//OC,
∴∠COB=∠DEO,∠COD=∠EDO,
∵OD=OE,
∴∠DEO=∠EDO,
∴∠COB=∠COD,
在△BCO和△DCO中，
{OB=OD,
∠COB=∠COD,
OC=OC,
∴△BCO≌△DCO(SAS),
∴∠CDO=∠CBO,
∵BC为⊙O的切线,
∴BC⊥OB,即∠CBO=90°,
∴∠CDO=90°,
又
∵OD为⊙O的半径,
∴CD为⊙O的切线.

2.如图,在△ABC中,AB= BC,∠A= 30°,AB是⊙O的弦,AC过圆心O.求证：BC是⊙O的切线.

答案：
证明:如图，连接OB.

∵OA=OB,
∴∠ABO=∠A=30°.
又
∵AB=BC,
∴∠C=∠A=30°,
∴∠ABC=120°.
∴∠CBO=∠ABC−∠ABO=90°,
又
∵OB为⊙O的半径,
∴BC是⊙O的切线.

3.如图,直线MN交⊙O于A,B两点,AC是⊙O的直径,AD平分∠CAM,且DE⊥MN于点E.求证：DE与⊙O相切.

答案：
证明:如图，连接OD.

∵OA=OD.
∴∠ODA=∠OAD.
∵AD平分∠CAM,
∴∠DAE=∠OAD.
∴∠ODA=∠DAE,
∴MN//OD.
∵DE⊥MN,
∴DE⊥OD,
又
∵OD为⊙O的半径
∴DE是⊙O的切线，即DE与⊙O相切.

4.如图,OA为⊙O的半径,OA= 1,OB= 2,AB= $\sqrt{3}$.求证：AB是⊙O的切线.

答案： 证明:
∵OA=1,OB=2,AB=√3,OA²+AB²=1²+(√3)²=4=2²=OB²,
∴△OAB为直角三角形，且∠OAB=90°，
∴OA⊥AB,
又
∵OA为⊙O的半径,
∴AB是⊙O的切线.

5.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为⊙O的直径,过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E,延长EC,AB交于点F,∠ECD= ∠BCF.求证：CE为⊙O的切线.

答案：
证明:如图,连接OC,

∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠ADC+∠ABC=180°,
∵∠ADC+∠CDE=180°,
∴∠ABC=∠CDE,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠CDE=∠OCB,
∵CE⊥AD,
∴∠E=90°,
∴∠CDE+∠ECD=90°,
∵∠ECD=∠BCF,
∴∠BCF+∠OCB=90°,
∴半径OC⊥EC,
∴CE为⊙O的切线.

6.(2024·成都二模节选)如图,在△ABC中,AB= AC,以AB为直径作圆O,分别交BC于点D,交CA的延长线于点E,过点D作DH⊥AC于点H,连接DE交线段OA于点F.求证：DH是圆O的切线.

答案：
证明:连接OD,AD.

∵以AB为直径作圆O,
∴OA=OB,∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴BD=CD,
∴OD是△ABC的中位线,
∴OD//AC,
∵DH⊥AC,
∴OD⊥DH,
又
∵OD是⊙O的半径,
∴DH是圆O的切线.