《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.(素材来源:人教9上P18阅读与思考)综合与实践.
实践主题:黄金分割数.
(1)材料探索:如图1,我们知道,如果点P是线段AB上的一点,将线段分割成AP,BP两条线段$(AP＞BP)$,且满足$BP:AP= AP:AB$,那么这种分割就叫做黄金分割.其中线段AP与AB的比值或线段BP与AP的比值叫做黄金分割数.

若设线段$AB = 1$,AP的长为x,则BP可表示为$1 - x$,$\because BP:AP = AP:AB$,$\therefore (1 - x):x = x:1$,…,根据此方法可计算出黄金分割数为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$(结果保留根号).
(2)实践应用:二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一,演奏家发现,二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处(“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短),奏出来的音调最和谐悦耳.如图2,一把二胡的琴弦长为80cm,求“千斤”下面一截琴弦长(结果保留根号).

解:设“千斤”下面一截琴弦长为 $x$ cm.
根据题意,得 $\frac{x}{80}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
解得 $x = 40\sqrt{5}-40$.
答:“千斤”下面一截琴弦长为 $(40\sqrt{5}-40)$ cm.

答案：
(1) $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
(2) 解:设“千斤”下面一截琴弦长为 $x$ cm.
根据题意,得 $\frac{x}{80}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
解得 $x = 40\sqrt{5}-40$.
答:“千斤”下面一截琴弦长为 $(40\sqrt{5}-40)$ cm.

2.(综合与实践)(开放性题型)在一块长16m,宽12m的矩形荒地上建造一个花园,要求花园面积是荒地面积的一半,下面分别是小华与小芳的设计方案.
小华:我的设计方案如图①,矩形荒地四个角均为两直角边分别为6m,8m的直角三角形;
小芳:我的设计方案如图②,其中花园四周小路的宽度均为1m.

(1)同学们都认为小华的方案是正确的,但对小芳的方案是否符合条件有不同的意见,你认为小芳的方案符合条件吗?若不符合,请用方程的方法说明理由;
(2)你还有其他的设计方案吗?请在备用图中画出你所设计的草图,将花园部分涂上阴影.(设计一种方案即可)

答案：
解:
(1) 不符合.理由如下:
设小路宽度均为 $x$ m.
依题意,得 $(16 - 2x)(12 - 2x)=\frac{1}{2}×12×16$,
解得 $x_1 = 2$, $x_2 = 12$ (不合题意,舍去),
$\therefore x = 2$.
$\therefore$ 小芳的方案不符合条件,小路的宽度应均为 $2$ m.
(2) 设计方案如图所示.