《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、预备知识
如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$.
(1) 三边之间的关系：$ c ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } $；(勾股定理)
(2) 两锐角之间的关系：$\angle A + \angle B$$= 90^{\circ}$；
(3) 边、角之间的关系：
$\sin A = $$\frac { a } { c }$；$\cos A = $$\frac { b } { c }$；
$\tan A = $$\frac { a } { b }$；$\sin B = $$\frac { b } { c }$；
$\cos B = $$\frac { a } { c }$；$\tan B = $$\frac { b } { a }$.

答案：
(1) $ c ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } $
(2) $ \angle A + \angle B $
(3) $ \frac { a } { c } $ $ \frac { b } { c } $ $ \frac { a } { b } $ $ \frac { b } { c } $ $ \frac { a } { c } $ $ \frac { b } { a } $

【例题1】如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$BC = \sqrt{6}$,$AC = 3\sqrt{2}$,解这个直角三角形.

解：在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中，$ \tan A = \frac { B C } { A C } = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } $，
$ \therefore \angle A = $$30^{\circ}$，
$ \therefore \angle B = 180 ^ { \circ } - \angle C - \angle A = 180 ^ { \circ } - 90 ^ { \circ } - 30 ^ { \circ } = $$60^{\circ}$，
由勾股定理，得 $ A B = \sqrt { A C ^ { 2 } + B C ^ { 2 } } = \sqrt { 24 } = $$2\sqrt{6}$．
$ \therefore A B = 2 \sqrt { 6 } $．

答案： 解：在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中，$ \tan A = \frac { B C } { A C } = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } $，
$ \therefore \angle A = 30 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle B = 180 ^ { \circ } - \angle C - \angle A = 180 ^ { \circ } - 90 ^ { \circ } - 30 ^ { \circ } = 60 ^ { \circ } $，
由勾股定理，得 $ A B = \sqrt { A C ^ { 2 } + B C ^ { 2 } } = \sqrt { 24 } = 2 \sqrt { 6 } $．
$ \therefore A B = 2 \sqrt { 6 } $．

【变式1】(人教九下P73教材改编)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 2\sqrt{2}$,$BC = 2\sqrt{6}$,解这个直角三角形.

解：在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中，由勾股定理，得 $ A B = \sqrt { A C ^ { 2 } + B C ^ { 2 } } = \sqrt { 32 } = $$4\sqrt{2}$，
$ \therefore \sin A = \frac { B C } { A B } = \frac { 2 \sqrt { 6 } } { 4 \sqrt { 2 } } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $，即 $ \angle A = $$60^{\circ}$，
$ \therefore \angle B = $$30^{\circ}$．

答案： 解：在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中，由勾股定理，得 $ A B = \sqrt { A C ^ { 2 } + B C ^ { 2 } } = \sqrt { 32 } = 4 \sqrt { 2 } $，
$ \therefore \sin A = \frac { B C } { A B } = \frac { 2 \sqrt { 6 } } { 4 \sqrt { 2 } } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $，即 $ \angle A = 60 ^ { \circ } $，
$ \therefore \cos B = \frac { B C } { A B } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $，即 $ \angle B = 30 ^ { \circ } $．

【例题2】如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle A = 30^{\circ}$,$BC = 6$,解这个直角三角形.
解：依题意，得 $ \angle B = 180 ^ { \circ } - \angle A - \angle C = $$60^{\circ}$．
$ \because \angle A = 30 ^ { \circ } $，
$ \therefore A B = 2 B C = $12，
$ \therefore \sin B = \frac { A C } { A B } = \frac { A C } { 12 } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $，
解得 $ A C = $$6\sqrt{3}$．

答案： 解：依题意，得 $ \angle B = 180 ^ { \circ } - \angle A - \angle C = 60 ^ { \circ } $．
$ \because \angle A = 30 ^ { \circ } $，
$ \therefore A B = 2 B C = 12 $，
$ \therefore \sin B = \frac { A C } { A B } = \frac { A C } { 12 } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $，
解得 $ A C = 6 \sqrt { 3 } $．

【变式2】已知在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = 45^{\circ}$,$AB = 6$,解这个直角三角形.
解：依题意，得 $ \angle A = 180 ^ { \circ } - 90 ^ { \circ } - 45 ^ { \circ } = $$45^{\circ}$，
$ \therefore \cos B = \frac { B C } { A B } = \frac { B C } { 6 } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } $，
解得 $ B C = $$3\sqrt{2}$，
又 $ \because \triangle A B C $ 是等腰直角三角形，
$ \therefore A C = B C = $$3\sqrt{2}$．

答案： 解：依题意，得 $ \angle A = 180 ^ { \circ } - 90 ^ { \circ } - 45 ^ { \circ } = 45 ^ { \circ } $，
$ \therefore \cos B = \frac { B C } { A B } = \frac { B C } { 6 } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } $，
解得 $ B C = 3 \sqrt { 2 } $，
又 $ \because \triangle A B C $ 是等腰直角三角形，
$ \therefore A C = B C = 3 \sqrt { 2 } $．