《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、新课学习


平分 弧 $ AE = BE $ $ \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD} $ $ \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC} $

答案： 平分 弧 $ AE = BE $ $ \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD} $ $ \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC} $

[例题1]如图,AB是OO的直径,CD 为弦,CD⊥AB于点E,则下列结论中不一定成立的是（C）

A. $ \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AD} $
B. $ \overset{\frown}{CB} = \overset{\frown}{DB} $
C. $ OE = BE $
D. $ CE = DE $

答案： C

【变式1】如图,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,弦 $ CD \perp AB $,垂足为 $ M $,$ CM = 2 $,则下列结论正确的是(D)

A. $ OA = 2 $
B. $ OM = 2 $
C. $ CD $ 垂直平分 $ AB $
D. $ AB $ 垂直平分 $ CD $

答案： D

【例题2】如图,在 $ \odot O $ 中,直径 $ CD \perp $ 弦 $ AB $,$ AB = 8 $,$ OE = 3 $,求 $ \odot O $ 半径及 $ ED $ 的长.

$ \odot O $ 半径为5，$ ED $ 的长为2.

答案： 解:连接 $ OA $。
∵ 直径 $ CD \perp $ 弦 $ AB $，
∴ $ AE = BE = \frac{1}{2}AB = 4 $。
在 $ Rt\triangle AEO $ 中，$ OA = \sqrt{AE^{2} + OE^{2}} = 5 $。
∴ $ \odot O $ 的半径为 5，
∴ $ ED = OD - OE = 5 - 3 = 2 $。

【变式2】如图,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,弦 $ CD \perp AB $ 于点 $ E $,$ OC = 10 \text{ cm} $,$ CD = 16 \text{ cm} $,求 $ AE $ 的长.

解:∵ $ CD \perp AB $，$ CD = 16 \, \text{cm} $，
∴ $ CE = \frac{1}{2}CD = 8 (\text{cm}) $。
在 $ Rt\triangle OCE $ 中，由勾股定理，得
$ OE = \sqrt{OC^{2} - CE^{2}} = \sqrt{10^{2} - 8^{2}} = 6 (\text{cm}) $。
∵ $ OA = OC = 10 \, \text{cm} $，
∴ $ AE = OA + OE = 10 + 6 = 16 (\text{cm}) $。
答：$ AE $ 的长为16cm。

答案： 解:
∵ $ CD \perp AB $，$ CD = 16 \, \text{cm} $，
∴ $ CE = \frac{1}{2}CD = 8 (\text{cm}) $。
在 $ Rt\triangle OCE $ 中，由勾股定理，得
$ OE = \sqrt{OC^{2} - CE^{2}} = \sqrt{10^{2} - 8^{2}} = 6 (\text{cm}) $。
∵ $ OA = OC = 10 \, \text{cm} $，
∴ $ AE = OA + OE = 10 + 6 = 16 (\text{cm}) $。

【例题3】(人教九上 P90)如图,两个圆都以点 $ O $ 为圆心,大圆的弦 $ AB $ 交小圆于点 $ C $,$ D $,求证：$ AC = BD $.

答案：
证明:如图，过点 $ O $ 作 $ AB $ 的垂线 $ EF $，垂足为 $ G $。

∵ $ EF \perp AB $，
∴ $ AG = BG $。
∵ $ EF \perp CD $，
∴ $ CG = DG $，
∴ $ AG - CG = BG - DG $，即 $ AC = BD $。

【变式3】如图,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的弦,半径 $ OC $,$ OD $ 分别交 $ AB $ 于点 $ E $,$ F $,且 $ OE = OF $. 求证：$ AE = BF $.

答案：
证明:如图，过点 $ O $ 作 $ AB $ 的垂线交 $ EF $ 于点 $ J $。

∵ $ OJ \perp AB $，
∴ $ AJ = BJ $。
又
∵ $ OE = OF $，
∴ $ \triangle EOF $ 为等腰三角形，
∴ $ OJ \perp EF $，即 $ EJ = FJ $（等腰三角形三线合一）。
∵ $ AJ - EJ = BJ - FJ $，
∴ $ AE = BF $。

1. 如图,$ CD $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ CD \perp AB $ 于点 $ E $,则下列结论不一定成立的是(C)

A. E
B.$ \overset{\frown}{DA} = \overset{\frown}{DB} $
C. EO = E
D.$ \overset{\frown}{CA} = \overset{\frown}{CB} $

答案： C

2. (人教九上 P83 教材改编)如图,$ \odot O $ 的半径为 5,$ AB $ 为弦,$ OC \perp AB $,垂足为 $ C $,若 $ OC = 3 $,求弦 $ AB $ 的长.

答案：
解:如图，连接 $ OA $。

∵ $ OC \perp AB $，
∴ $ AC = BC $。
在 $ Rt\triangle ACO $ 中，$ AC = \sqrt{OA^{2} - OC^{2}} $
$ = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4 $。
∴ $ AB = 2AC = 8 $。

3. 如图,已知 $ \odot O $ 的半径为 10,弦 $ AB = 12 $,$ M $ 是 $ AB $ 上任意一点,则线段 $ OM $ 的长可能是(D)

A.5.5
B.6.5
C.7.5
D.8.5

答案： D

4. (核心素养)如图,一座石拱桥是圆弧形(阴影部分),其跨度 $ AB = 24 \text{ m} $,半径为 $ 13 \text{ m} $,求拱高 $ CD $ 的长度.
解:由题意，得 $ OC \perp AB $，∴ $ AD = BD = \frac{1}{2}AB = 12 \, \text{m} $。
∵ $ OA = 13 $，
∴ 在 $ Rt\triangle ADO $ 中，由勾股定理，得 $ OD = \sqrt{OA^{2} - DA^{2}} = 5 \, \text{m} $。
∴ $ CD = OC - OD = 13 - 5 = 8 \, \text{m} $。
答：拱高 $ CD $ 的长度为8m。

答案： 解:由题意，得 $ OC \perp AB $，
∴ $ AD = BD = \frac{1}{2}AB = 12 \, \text{m} $。
∵ $ OA = 13 $，
∴ 在 $ Rt\triangle ADO $ 中，由勾股定理，得 $ OD = \sqrt{OA^{2} - DA^{2}} = 5 \, \text{m} $。
∴ $ CD = OC - OD = 13 - 5 = 8 \, \text{m} $。