《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

【例题1】如图,点P(-2,6)在反比例函数y= $\frac{k}{x}$的图象上,过点P作PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B,则k=-12,矩形PAOB的面积=12.

答案： -12　12

【变式1】如图,P(x,y)是双曲线y= $\frac{k}{x}$上的任意一点,四边形PMON是矩形,则OM= PN= |x|,PM= ON= |y|,$S_{矩形PMON}$= |y|×|x|=|k|.

答案： |x|　|y|　|y|×|x|　|k|

【例题2】如图,点P是反比例函数在第二象限内的图象上一点,若矩形PEOF的面积为3,则反比例函数的解析式是(A)

A.y= -$\frac{3}{x}$
B.y= -$\frac{x}{3}$
C.y= $\frac{x}{3}$
D.y= $\frac{3}{x}$

答案： A

【变式2】如图,点P是反比例函数y= $\frac{6}{x}$的图象上的一点,PD⊥x轴于点D,则△POD的面积为3.

答案： 3

【例题3】如图,▱OABC的顶点O在原点上,顶点A,C分别在反比例函数y= $\frac{k}{x}$(k≠0,x＞0),y= -$\frac{10}{x}$(x＜0)的图象上,对角线AC⊥y轴于点D,已知点D的坐标为(0,5).
(1)点C的坐标为(-2,5)；
(2)若▱OABC的面积是55,则k=45.

答案：
(1)(-2,5)　
(2)45　解析:
(1)当y=5时,代入$y=-\frac{10}{x},$得x=-2,
∴点C的坐标为(-2,5);
(2)由题意可知$S_{△DOC}=\frac{1}{2}×5×2=5,S_{△OAD}=\frac{1}{2}k.$
∵S_{□OABC}=2(S_{△DOC}+S_{△OAD})=55,
∴$2(5+\frac{1}{2}k)=55,$解得k=45.

【变式3】已知反比例函数y= -$\frac{6}{x}$(x＜0)与y= $\frac{2}{x}$(x＞0)的图象如图所示,过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线,分别与这两个函数的图象交于M,N两点.若点A是x轴上的任意一点,连接MA,NA,则$S_{△AMN}$等于( )

A.8
B.6
C.4
D.2

答案：
C　解析:如图,连接ON,OM,
∵MN//x轴,
∴S_{△AMN}=S_{△OMN}=S_{△OPM}+S_{△OPN},
∵$S_{△OPM}=\frac{1}{2}×6=3,S_{△OPN}=\frac{1}{2}×2=1,$
∴S_{△AMN}=3+1=4.故选C.