《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

【例题3】如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 120^{\circ}$,$AB = 2$,$AC = 4$,求$BC$的长.

答案：
解：如图，过点 $ C $ 作 $ C D \perp A B $，交 $ B A $ 的延长线 于点 $ D $，则 $ \angle D = 90 ^ { \circ } $．
$ \because \angle B A C = 120 ^ { \circ } $，$ \therefore \angle C A D = 180 ^ { \circ } - 120 ^ { \circ } = 60 ^ { \circ } $．
在 $ \mathrm { Rt } \triangle A C D $ 中，$ \sin \angle C A D = \frac { C D } { A C } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $，
$ \cos \angle C A D = \frac { A D } { A C } = \frac { 1 } { 2 } $，
$ \therefore C D = A C \cdot \sin \angle C A D = 4 × \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } = 2 \sqrt { 3 } $，
$ A D = A C \cdot \cos \angle C A D = 4 × \frac { 1 } { 2 } = 2 $．
$ \therefore B D = A B + A D = 2 + 2 = 4 $．
在 $ \mathrm { Rt } \triangle B C D $ 中，由勾股定理，
得 $ B C = \sqrt { B D ^ { 2 } + C D ^ { 2 } } = \sqrt { 4 ^ { 2 } + ( 2 \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } } = 2 \sqrt { 7 } $．

【变式3】如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 105^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,$AB = 6$,求$\triangle ABC$的面积.

答案：
解：如图，过点 $ C $ 作 $ C D \perp A B $，垂足为 $ D $，

$ \therefore \triangle CDB $，$ \triangle ADC $ 都是直角三角形．
$ \because \angle B = 30 ^ { \circ } $，$ \angle C = 105 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle A = 45 ^ { \circ } $．$ \therefore \angle BCD = 60 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle ACD = 45 ^ { \circ } $，$ \therefore AD = CD $．
设 $ CD = x $，则 $ AD = x $，$ BD = \sqrt { 3 } x $，
$ \therefore x + \sqrt { 3 } x = 6 $，解得 $ x = 3 \sqrt { 3 } - 3 $，
$ \therefore S _ { \triangle ABC } = \frac { 1 } { 2 } CD \cdot AB = 9 \sqrt { 3 } - 9 $．

1. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$BC = 4$,$AC = 4\sqrt{3}$,则$\angle B = $$60^{\circ}$.

答案： $ 60 ^ { \circ } $

2. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AB = 12$,$\cos B = \frac{3}{4}$,则$BC$的长为9.

答案： $ 9 $

3. 等腰三角形的一腰长为$6cm$,底边长为$6\sqrt{3}cm$,则其底角为(D)
A.$120^{\circ}$
B.$90^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$30^{\circ}$

答案： $ 3. D $

4. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = 37^{\circ}$,$BC = 80$,求$AC$的长.(参考数据：$\sin 37^{\circ} \approx 0.60$,$\cos 37^{\circ} \approx 0.80$,$\tan 37^{\circ} \approx 0.75$)

解：依题意，得 $ \tan B = \frac { A C } { B C } = \frac { A C } { 80 } = 0.75 $，
解得 $ A C = $60．

答案： 解：依题意，得 $ \tan B = \frac { A C } { B C } = \frac { A C } { 80 } = 0.75 $，
解得 $ A C = 60 $．

5. 如图1是一本厚度为$2cm$的字典,封面是硬的,翻开时不会发生弯曲.如图2,把这本字典放在桌面$MN$上,将上面的封面$OA打开45^{\circ}角到OB$位置时,点$B到OA的距离BE = 8\sqrt{2}cm$.现将封面$OA打开120^{\circ}角到OC$位置,请回答下列问题(计算时不考虑封面的厚度).
(1) 求字典的封面宽$OB$；
(2) 求点$C到桌面MN的距离CF$.

答案：
解：
(1) 依题意，得 $ \angle BOE = 45 ^ { \circ } $，$ BE = 8 \sqrt { 2 } \mathrm { cm } $，$ \angle BEO = 90 ^ { \circ } $，
在 $ \mathrm { Rt } \triangle BEO $ 中，$ \sin \angle BOE = \frac { BE } { OB } $，
$ \therefore OB = \frac { BE } { \sin \angle BOE } = \frac { 8 \sqrt { 2 } } { \sin 45 ^ { \circ } } = 16 ( \mathrm { cm } ) $；
(2) 延长 $ EO $ 交 $ CF $ 于点 $ H $，如图所示，

依题意得，$ \angle EOC = 120 ^ { \circ } $，$ OC = OB = 16 \mathrm { cm } $，$ \angle CFD = 90 ^ { \circ } $，$ OE // MN $，$ HF = OD = 2 \mathrm { cm } $，
$ \therefore \angle CHO = 90 ^ { \circ } $，$ \angle COH = 180 ^ { \circ } - \angle EOC = 60 ^ { \circ } $，
在 $ \mathrm { Rt } \triangle OCH $ 中，$ \sin \angle COH = \frac { CH } { CO } $，
$ \therefore CH = CO \cdot \sin \angle COH = 16 \cdot \sin 60 ^ { \circ } = 8 \sqrt { 3 } ( \mathrm { cm } ) $，
$ \therefore CF = CH + HF = ( 8 \sqrt { 3 } + 2 ) \mathrm { cm } $．