《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

【例题3】如图,在某一时刻大树AB的影子落在墙DE上的C点,同时1.2m的标杆影长3m,已知CD= 4m,BD= 6m,求大树的高度.

答案：
解：过点C作CF⊥AB于点F，如图。

设AB为xm，
由题意得AB⊥BD，DE⊥BD，
∴四边形BDCF为矩形，
∴BF=CD=4m，CF=BD=6m，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{AB−BF}{CF}$，即$\frac{1.2}{3}=\frac{x−4}{6}$。
解得x=6.4。
答：大树的高度为6.4m。

【变式3】如图,小明想测量一棵树的高度,他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上,此时测得地面上的影长为8m,坡面上的影长为4m.已知斜坡的坡角为30°,同一时刻,一根长为1m、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2m,求这棵树的高度.

答案：
解：如图，延长AC交BF延长线于D点。作CE⊥BD于点E。

在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4m，
∴CE=2m，EF=2$\sqrt{3}$m。
∵同一时刻，一根长为1m，垂直于地面放置的标杆的地面上的影长为2m，CE=2m，
∴CE:DE=1:2，
∴DE=4m，
∴BD=BF+EF+ED=(12+2$\sqrt{3}$)m。
在Rt△ABD中，AB=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×(12+2$\sqrt{3}$)=(6+$\sqrt{3}$)m。
答：这棵树的高度为(6+$\sqrt{3}$)m。

1. (跨学科融合)如图,放映幻灯片时,通过光源,把幻灯片上的图形放大到屏幕上,若光源到幻灯片的距离为30cm,到屏幕的距离为90cm,且幻灯片中的图形的高度为7cm,则屏幕上图形的高度为(C)

A.6cm
B.12cm
C.21cm
D.24cm

答案： C

2. (人教九下P59教材改编)如图,将直角三角形纸片截出一个矩形PMCN,∠C= 90°,AC= 8cm,BC= 6cm,点P,M,N分别在AB,AC,BC上,设CN= x.

(1)试用含x的代数式表示PN；8−$\frac{4}{3}$x
(2)设矩形PMCN的面积为$y cm^2,$当x为何值时,y的值最大？最大值是多少？当x=3cm时，y的值最大，最大值是12cm²。

答案： 解：
(1)
∵直角三角形纸片截出一个矩形PMCN，∠C=90°。点P，M，N分别在AB，AC，BC上，
∴PN//AC，
∴△BPN∽△BAC，
∴$\frac{PN}{AC}=\frac{BN}{BC}$，即$\frac{PN}{8}=\frac{6−x}{6}$，
∴PN=8−$\frac{4}{3}$x；
(2)y=PN·CN=(8−$\frac{4}{3}$x)·x=−$\frac{4}{3}$x²+8x=−$\frac{4}{3}$(x−3)²+12，
∴当x=3cm时，y的值最大，最大值是12cm²。