《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 抛物线$y = x^{2}+2x - 1与y$轴的交点的纵坐标为(B)
A.-2
B.-1
C.1
D.2

答案： B

2. 函数$y = \sqrt{x - 2}$中自变量x的取值范围是(D)
A.$x＞2$
B.$x≠2$
C.$x＜2$
D.$x≥2$

答案： D

3. 若点$A(-4,y_{1})$,$B(-\frac{1}{4},y_{2})$,$C(3,y_{3})在函数y = x^{2}+4x - 5$的图象上,则$y_{1}$,$y_{2}$,$y_{3}$的关系是(B)
A.$y_{1}＞y_{2}＞y_{3}$
B.$y_{3}＞y_{1}＞y_{2}$
C.$y_{1}＞y_{3}＞y_{2}$
D.$y_{2}＞y_{1}＞y_{3}$

答案： B

4. 抛物线$y= (x + 2)^{2}-3$的对称轴是(B)
A.直线$x = 2$
B.直线$x = - 2$
C.直线$x = - 3$
D.直线$x = 3$

答案： B

5. 下列对二次函数$y = x^{2}+x$的图象的描述,正确的是(C)
A.对称轴是$y$轴
B.开口向下
C.经过原点
D.顶点在$y$轴右侧

答案： C 解析：二次函数 $ y = x ^ { 2 } + x = ( x + \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } $，$ a = 1 $，
∴ 图象的对称轴是直线 $ x = - \frac { 1 } { 2 } $，故选项 A 错误；该函数图象开口向上，故选项 B 错误；当 $ x = 0 $ 时，$ y = 0 $，即该函数图象过原点，故选项 C 正确；顶点坐标是 $ ( - \frac { 1 } { 2 }, - \frac { 1 } { 4 } ) $，故选项 D 错误. 故选 C.

6. 将抛物线$y = - x^{2}+6$向左平移2个单位,再向上平移1个单位后,得到的抛物线的解析式为$ y = - ( x + 2 ) ^ { 2 } + 7 $.

答案： $ y = - ( x + 2 ) ^ { 2 } + 7 $

7. 抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a≠0)$的部分图象如图所示,其与$x轴的一个交点坐标为(-3,0)$,对称轴为$x = - 1$,则当$y＜0$时,$x$的取值范围是$- 3 ＜ x ＜ 1$.

答案： $ - 3 ＜ x ＜ 1 $

8. 如图,直线$y = x + m和抛物线y = ax^{2}+bx + c都经过点A(1,0)和B(3,2)$,则关于$x的不等式ax^{2}+bx + c＞x + m$的解集为$ x ＜ 1 $ 或 $ x ＞ 3 $.

答案： $ x ＜ 1 $ 或 $ x ＞ 3 $

9. 二次函数$y = x^{2}-bx + c的图象上有两点A(3,-2)$,$B(-9,-2)$,则此抛物线的对称轴是直线$x = $-3.

答案： -3 解析：
∵ 函数 $ y = x ^ { 2 } - b x + c $ 的图象上有两点 $ A ( 3, - 2 ) $，$ B ( - 9, - 2 ) $，且两点的纵坐标相等，
∴ 点 $ A $，$ B $ 关于抛物线的对称轴对称，
∴ 对称轴为直线 $ x = \frac { - 9 + 3 } { 2 } = - 3 $.

10. 已知二次函数$y = x^{2}+bx + c的图象经过(1,6)$,$(-3,2)$两点,则它与$x$轴的交点的坐标为$(-2,0)$和$(-1,0)$.

答案： $ ( - 2, 0 ) $ 和 $ ( - 1, 0 ) $ 解析：把 $ ( 1, 6 ) $，$ ( - 3, 2 ) $ 两点代入二次函数 $ y = x ^ { 2 } + b x + c $，得 $ \left\{ \begin{array} { l } { 1 + b + c = 6, } \\ { 9 - 3 b + c = 2, } \end{array} \right. $ 解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { b = 3, } \\ { c = 2, } \end{array} \right. $ 故二次函数解析式为 $ y = x ^ { 2 } + 3 x + 2 $. 当 $ y = 0 $ 时，$ 0 = x ^ { 2 } + 3 x + 2 $，则 $ ( x + 1 ) \cdot ( x + 2 ) = 0 $，解得 $ x _ { 1 } = - 1 $，$ x _ { 2 } = - 2 $，故抛物线与 $ x $ 轴交点坐标为 $ ( - 2, 0 ) $，$ ( - 1, 0 ) $.

11. 甲、乙、丙三同学玩跳绳,绳被甩到最高处时的形状是如图所示的抛物线.已知拿绳的甲、乙两同学甩绳时手间距AB为6米,手到地面的距离AD和BC都为1.3米,身高为1.6米的丙同学站在距点D的水平距离为1米的E点处,绳子甩到最高处时刚好擦过丙同学头顶F.以点D为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求此抛物线的解析式,并注明x的取值范围.
解：设此抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c，$由题意得点A(0,1.3)，F(1,1.6)，B(6,1.3)，代入$y=ax^2+bx+c，$得$\begin{cases}c=1.3,\\a+b+c=1.6,\\36a+6b+c=1.3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=$-0.06$,\\b=$0.36$,\\c=$1.3$,\end{cases}$∴抛物线的解析式为y=$-0.06x^2+0.36x+1.3$($0\leq x\leq6$)；
(2)如果绳子甩到最高处时刚好擦过丙同学头顶F,丙同学在CD之间是否存在除E外的另一站点,若存在,求该站点到点D的距离;若不存在,说明理由.解：存在，理由：设站点到点D的距离为x米，则$-0.06x^2+0.36x+1.3=1.6，$解得x=1或x=5，∵x=1处即为站点E，∴存在另一站点到点D的距离为5米.

答案： 解：
(1) 设此抛物线的解析式为 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c $，由题意得点 $ A ( 0, 1.3 ) $，$ F ( 1, 1.6 ) $，$ B ( 6, 1.3 ) $，代入 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c $，得 $ \left\{ \begin{array} { l } { c = 1.3, } \\ { a + b + c = 1.6, } \\ { 36 a + 6 b + c = 1.3, } \end{array} \right. $ 解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { a = - 0.06, } \\ { b = 0.36, } \\ { c = 1.3, } \end{array} \right. $
∴ 抛物线的解析式为 $ y = - 0.06 x ^ { 2 } + 0.36 x + 1.3 ( 0 \leq x \leq 6 ) $；
(2) 存在，理由：设站点到点 $ D $ 的距离为 $ x $ 米，则 $ - 0.06 x ^ { 2 } + 0.36 x + 1.3 = 1.6 $，解得 $ x = 1 $ 或 $ x = 5 $，
∵ $ x = 1 $ 处即为站点 $ E $，
∴ 存在另一站点到点 $ D $ 的距离为 5 米.