《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.(人教九下 P52)(综合运用——图象变化与坐标的关系)如图,图中的图案与“A”字图案(虚线图案)相比,发生了什么变化? 对应点的坐标之间有什么关系?
(1)图案的宽变为原来的2倍,高不变;对应点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变;
(2)图案的宽不变,高变为原来的2倍;对应点的横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍.

答案： 解:
(1) 图案的宽变为原来的 2 倍, 高不变; 对应点的横坐标变为原来的 2 倍, 纵坐标不变;
(2) 图案的宽不变, 高变为原来的 2 倍; 对应点的横坐标不变, 纵坐标变为原来的 2 倍.

2.综合运用
【基础巩固】(1)如图 1,在四边形 ABCD 中,对角线 BD 平分$∠ABC,∠ADB= ∠DCB$,求证:$BD^{2}= $BA·BC;
【尝试应用】(2)如图 2,四边形 ABCD 为平行四边形,点 F 在 AD 边上,$AB= AF$,点 E 在 BA 的延长线上,连接 EF,BF,CF.若$∠EFB= ∠DFC,BE= 4,BF= 5$,求 AD 的长;
【拓展提高】
(3)如图 3,在$△ABC$中,D 是 BC 上一点,连接 AD,点 E,F 分别在 AD,AC 上,连接 BE,CE,EF.若$DE= DC,∠BEC= ∠AEF,BE= 12,EF= 5,\frac {CE}{BC}= \frac {2}{3}$,求$\frac {AF}{FC}$的值.

答案：

(1) 证明:
∵ BD 平分 ∠ABC,
∴ ∠ABD = ∠DBC.
又
∵ ∠ADB = ∠DCB,
∴ △ABD ∽ △DBC.
∴ $\frac{BA}{BD} = \frac{BD}{BC}$,
∴ $BD^2 = BA \cdot BC$;
(2) 解:
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,
∴ AD // BC, AD = BC,
∴ ∠AFB = ∠FBC, ∠DFC = ∠FCB,
∵ AB = AF,
∴ ∠AFB = ∠ABF.
∴ ∠ABF = ∠FBC,
∵ ∠DFC = ∠FCB, ∠EFB = ∠DFC,
∴ ∠EFB = ∠FCB,
∴ △EBF ∽ △FBC.
∴ $\frac{BE}{BF} = \frac{BF}{BC}$, 即 $\frac{4}{5} = \frac{5}{BC}$,
解得 $BC = \frac{25}{4}$.
∴ $AD = BC = \frac{25}{4}$.
(3) 解: 如答图, 过点 C 作 CM // AD 交 EF 的延长线于点 M.

∵ DE = DC,
∴ ∠DEC = ∠DCE,
∵ ∠AEF + ∠CEF + ∠DEC = 180°,
∠BEC + ∠CBE + ∠BCE = 180°,
∠BEC = ∠AEF,
∴ ∠CEF = ∠CBE,
∵ CM // AD,
∴ ∠DEC = ∠ECM,
又
∵ ∠DEC = ∠DCE,
∴ ∠ECM = ∠DCE,
∴ △ECM ∽ △BCE,
∴ $\frac{EM}{BE} = \frac{EC}{BC}$,
∵ $\frac{EC}{BC} = \frac{2}{3}$, BE = 12,
∴ EM = 8,
∵ EF = 5,
∴ FM = EM - EF = 3,
∵ CM // AD,
∴ $\frac{AF}{FC} = \frac{EF}{FM}$, 即 $\frac{AF}{FC} = \frac{5}{3}$.