《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、新课学习
(1)各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形;
(2)每个正多边形都有唯一的外接圆,其圆心叫做这个正多边形的中心;
(3)外接圆的半径叫做正多边形的半径;
(4)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角;
(5)中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距;
(6)正n边形的一个内角度数为$\frac{(n - 2) \cdot 180^{\circ}}{n}$,一个外角为$\frac{360^{\circ}}{n}$,一个中心角为$\frac{360^{\circ}}{n}$.

答案： 正多边形　　中心角　　边心距　$\frac{(n - 2) \cdot 180^{\circ}}{n}$
$\frac{360^{\circ}}{n}$　$\frac{360^{\circ}}{n}$

【例题1】如图,⊙O的半径为1,求其内接正方形ABCD的边长、中心角和边心距.

答案：
解:如图，连接AC.
　　　　　　　
　
∵∠ABC = 90°，
　
∴AC为圆的直径。
　
∵AB² + BC² = AC²，AC = 2，
　
∴4 = AB² + BC²，即AB = BC = $\sqrt{2}$。
　　连接OB，OC。
∴∠BOC = $\frac{360^{\circ}}{4}$ = 90°(正多边形的定义)。
　　边心距d = $\sqrt{R^{2} - (\frac{a}{2})^{2}}$ = $\sqrt{1 - \frac{2}{4}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$(R为⊙O半径，a为正多边形边长)。

【变式1】(人教九上P106教材改编)如图,已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为4,求这个正六边形的中心角60°、边心距2√3和周长24.

答案： 解:正六边形ABCDEF的中心角∠AOF = $\frac{360^{\circ}}{6}$ = 60°。
　
∵AO = FO，∠AOF = 60°，
　
∴△AOF是等边三角形，
　
∴AO = FO = AF = 4。
　
∵OA = AF，AG = $\frac{1}{2}$AF = 2，
　
∴OG = $\sqrt{AO^{2} - AG^{2}}$ = 2$\sqrt{3}$，即边心距为2$\sqrt{3}$，周长为4×6 = 24。

【例题2】(2024·东莞期末)如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,边长为2.
(1)求⊙O的直径AD的长;
(2)求∠ADB的度数.

答案：
解:
(1)如图，连接OB.
　　　　　　
　
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O。
　
∴∠AOB = $\frac{360^{\circ}}{6}$ = 60°，
　　又AO = BO，
　
∴△AOB是等边三角形，
　
∴AO = AB = 2。
∴AD = 2AO = 4。
(2)
∵$\widehat{AB}$ = $\widehat{AB}$，∠AOB = 60°
　
∴∠ADB = $\frac{1}{2}$∠AOB = 30°。

【变式2】如图,正方形ABCD内接于⊙O,M为⌢CD的中点,连接AM,BM.
(1)求证:⌢AM= ⌢BM;
(2)求⌢AM所对应圆心角的度数.

答案：

(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形，
　
∴AD = BC，
∴$\widehat{AD}$ = $\widehat{BC}$。
　
∵M为$\widehat{CD}$的中点，
∴$\widehat{DM}$ = $\widehat{CM}$，
　
∴$\widehat{AD}$ + $\widehat{DM}$ = $\widehat{BC}$ + $\widehat{CM}$，
　
∴$\widehat{AM}$ = $\widehat{BM}$；
(2)解:如图，连接OA，OM，OB.
　　　　　　　
　
∵正方形ABCD内接于⊙O，
　
∴∠AOB = 90°。
　
∵$\widehat{AM}$ = $\widehat{BM}$，
∴AM = BM。
　
∴∠AOM = ∠BOM = $\frac{1}{2}$×(360° - 90°) = 135°。
　
∴$\widehat{AM}$所对的圆心角的度数为135°。