《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 若一元二次方程$x^{2}-2024x+2025= 0的两个实数根为x_{1},x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}$的值为(B)
A.2025
B.2024
C.-2025
D.-2024

答案： B

2. 若$x_{1},x_{2}是一元二次方程x^{2}-2x-3= 0$的两个根,则$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}$的值是(D)
A.-7
B.-1
C.1
D.7

答案： D

3. (易错)关于方程$x^{2}+x+1= 0$,下列说法正确的是(D)
A.方程两根和为-2
B.方程两根和为1
C.方程两根差为0
D.$\Delta ＜0$,方程无实数根

答案： D

4. 已知关于x的方程$x^{2}+2x+k-1= 0$,设方程的两个实数根分别是$x_{1},x_{2}$,若$2x_{1}x_{2}＞x_{1}+x_{2}-3$成立,则k的取值范围为$-\frac{3}{2}＜k\leq2$.

答案： $-\frac{3}{2}＜k\leq2$ 解析：由题意，得$a=1$，$b=2$，$c=k-1$，
$\therefore\left\{\begin{array}{l}x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=k-1,\\x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-2\end{array}\right.$由$2x_{1}x_{2}＞x_{1}+x_{2}-3$化简，得$2x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+3＞0$，代入，得$2(k-1)+5＞0$，$\therefore$解得$k＞-\frac{3}{2}$．又$\because b^{2}-4ac\geq0$，
$\therefore4-4(k-1)\geq0$，$\therefore k\leq2$，$\therefore-\frac{3}{2}＜k\leq2$．

5. 菱形ABCD的边长是5,两条对角线交于点O,且AO,BO的长分别是关于x的方程$x^{2}+(2m-1)x+m^{2}+3= 0$的根,则m的值为(A)
A.-3
B.5
C.5或-3
D.-5或3

答案： A 解析：由勾股定理可得：$AO^{2}+BO^{2}=25$，又由一元二次方程根与系数的关系可得：$AO+BO=-2m+1$，$AO\cdot BO=m^{2}+3$，$\therefore AO^{2}+BO^{2}=(AO+BO)^{2}-2AO\cdot BO=(-2m+1)^{2}-2(m^{2}+3)=25$，整理得：$m^{2}-2m-15=0$，解得$m=-3$或5．又$\because\Delta＞0$，$\therefore(2m-1)^{2}-4(m^{2}+3)＞0$，解得$m＜-\frac{11}{4}$，$\therefore m=-3$，故选A．

6. 已知关于x的方程$x^{2}+(2k-1)x+k^{2}-1= 0有两个实数根x_{1},x_{2}$,已知$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 16+x_{1}x_{2}$,则$k=$-2.

答案： $-2$ 解析：$\because a=1$，$b=2k-1$，$c=k^{2}-1$，$\therefore x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=1-2k$，$\therefore x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=k^{2}-1$，$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=16+x_{1}x_{2}$，$\therefore(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=16+x_{1}x_{2}$，$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=16$，$(1-2k)^{2}-3(k^{2}-1)=16$，$k^{2}-4k-12=0$，$(k+2)(k-6)=0$，$\therefore k=-2$或$k=6$．又$\because\Delta=(2k-1)^{2}-4(k^{2}-1)\geq0$，$\therefore-4k+5\geq0$，$\therefore k\leq\frac{5}{4}$，$\therefore k=-2$．

7. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-6x-k^{2}= 0.$
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
证明：$\because a=1$，$b=-6$，$c=-k^{2}$，
$\therefore\Delta=b^{2}-4ac=36-4×(-k^{2})=36+4k^{2}$．
$\because k$为常数，
$\therefore k^{2}\geq0$，
$\therefore36+4k^{2}＞0$，
$\therefore$方程有两个不相等的实数根；
(2)设$x_{1},x_{2}$为方程的两个实数根,且$x_{1}+2x_{2}= 14$,求方程的两个实数根和k的值.
解：由题意，得$a=1$，$b=-6$，$c=-k^{2}$，
$\therefore x_{1}+x_{2}=6$，$x_{1}x_{2}=-k^{2}$，
又$\because x_{1}+2x_{2}=14$，即$6+x_{2}=14$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x_{1}=-2,\\x_{2}=8,\end{array}\right.$
$\therefore x_{1}x_{2}=-16=-k^{2}$，即$k^{2}=16$，
解得$k=±4$．
方程的两个实数根为$x_{1}=-2$，$x_{2}=8$，k的值为$±4$.

答案： （1）证明：$\because a=1$，$b=-6$，$c=-k^{2}$，
$\therefore\Delta=b^{2}-4ac=36-4×(-k^{2})=36+4k^{2}$．
$\because k$为常数，
$\therefore k^{2}\geq0$，
$\therefore36+4k^{2}＞0$，
$\therefore$方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意，得$a=1$，$b=-6$，$c=-k^{2}$，
$\therefore x_{1}+x_{2}=6$，$x_{1}x_{2}=-k^{2}$，
又$\because x_{1}+2x_{2}=14$，即$6+x_{2}=14$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x_{1}=-2,\\x_{2}=8,\end{array}\right.$
$\therefore x_{1}x_{2}=-16=-k^{2}$，即$k^{2}=16$，
解得$k=\pm4$．

8. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+(2m-1)x+m^{2}-1= 0.$
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围;$m\leq\frac{5}{4}$
(2)若方程两实数根分别为$x_{1},x_{2}$,且满足$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 9$,求实数m的值.$-1$

答案： 解：（1）$\because$方程有实数根，
$\therefore\Delta=b^{2}-4ac=(2m-1)^{2}-4×1×(m^{2}-1)\geq0$，
解得$m\leq\frac{5}{4}$；
（2）$\because$方程两实数根分别为$x_{1}$，$x_{2}$，
$\therefore x_{1}+x_{2}=-2m+1$，$x_{1}x_{2}=m^{2}-1$，
$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9$，
$\therefore x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=9$，
$\therefore(-2m+1)^{2}-2(m^{2}-1)=9$，
解得$m=3$或$m=-1$，
$\because m\leq\frac{5}{4}$，
$\therefore m=-1$．