《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、预备知识
如右图,$Rt\triangle ABC$放大(或缩小)成$k倍得到Rt\triangle A'B'C'$. 则下列说法错误的是(D)
A.$Rt\triangle ABC\backsim Rt\triangle A'B'C'$
B.$∠A= ∠A'$,$∠B= ∠B'$,$∠C= ∠C'$
C.$ak:bk:ck= a:b:c$
D.$AB= A'B'$,$BC= B'C'$,$AC= A'C'$

答案： D

【例题1】如图,求下列直角三角形的$∠A$的正弦值.
$\sin A= $$\frac {3}{5}$ $\sin A= $$\frac {12}{13}$ $\sin A= $$\frac {1}{2}$

答案： $\frac {3}{5}$ $\frac {12}{13}$ $\frac {1}{2}$

【例题1]如图，求下列直角三角形的∠A的正弦值
   
$\sin A=$$\frac {3}{5}$$\sin A=$$\frac {12}{13}$$\sin A=$$\frac {1}{2}$

答案： $\frac {3}{5}$ $\frac {12}{13}$ $\frac {1}{2}$ 

【变式1】如图,根据图中条件填空.

(1)$\sin A=$$\frac {3}{5}$；$\sin B=$$\frac {4}{5}$.
(2)$\sin A=$$\frac {\sqrt {2}}{2}$；$\sin B=$$\frac {\sqrt {2}}{2}$.

答案：
(1)$\frac {3}{5}$ $\frac {4}{5}$ 
(2)$\frac {\sqrt {2}}{2}$ $\frac {\sqrt {2}}{2}$

【例题2】如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ}$,$AB= 10$,$AC= 6$,求$\sin A$及$\sin B$的值分别为$\frac{4}{5}$和$\frac{3}{5}$.

答案： 解:在$Rt△ABC$中,由勾股定理,得$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$,代入解得$BC=8$.
$\therefore sinA=\frac {BC}{AB}=\frac {8}{10}=\frac {4}{5}$,
$\therefore sinB=\frac {AC}{AB}=\frac {6}{10}=\frac {3}{5}$.

【变式2】(人教九下P63教材改编)如图,在$Rt\triangle ABC$中,求$∠A$,$∠B$的正弦值.

解:在$Rt△ABC$中,由勾股定理,得$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$,代入解得$AB=4$,
$\therefore sinA=\frac {BC}{AB}=\frac {2}{4}=$$\frac {1}{2}$,
$\therefore sinB=\frac {AC}{AB}=\frac {2\sqrt {3}}{4}=$$\frac {\sqrt {3}}{2}$,
$\therefore ∠A$正弦值为$\frac {1}{2}$,$∠B$正弦值为$\frac {\sqrt {3}}{2}$.

答案： 解:在$Rt△ABC$中,由勾股定理,得$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$,代入解得$AB=4$,
$\therefore sinA=\frac {BC}{AB}=\frac {2}{4}=\frac {1}{2}$,
$\therefore sinB=\frac {AC}{AB}=\frac {2\sqrt {3}}{4}=\frac {\sqrt {3}}{2}$,
$\therefore ∠A$正弦值为$\frac {1}{2},∠B$正弦值为$\frac {\sqrt {3}}{2}$.

【例题3】如图,$\triangle ABC$的顶点都是正方形网格中的格点,$\sin∠ABC= $$\frac {\sqrt {5}}{5}$.

答案： $\frac {\sqrt {5}}{5}$ 解析:设每个小正方形的边长为1.过点A作$AD⊥BC$交BC的延长线于点D,在$Rt△ABD$中,$AD=2,BD=4$,由勾股定理得$AB=2\sqrt {5}$,
$\therefore sin∠ABD=\frac {AD}{AB}=\frac {2}{2\sqrt {5}}=\frac {\sqrt {5}}{5}$,即$sin∠ABC=\frac {\sqrt {5}}{5}$.

【变式3】如图,在平面直角坐标系中,点$A的坐标为(3,4)$,$∠\alpha$的正弦值= $\frac {4}{5}$.

答案： $\frac {4}{5}$ 解析:过点A作$AB⊥x$轴,
∵点A的坐标为$(3,4)$,
∴点B的坐标为$(3,0),\therefore OB=3,AB=4$,则$OA=5,\therefore sinα=\frac {BA}{OA}=\frac {4}{5}$.