《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. (人教九上 P89)如图, 在半径为 50 mm 的$\odot O$中, 弦 AB 长 50 mm.
求: (1)$∠AOB$的度数;
(2)点 O 到 AB 的距离.

答案：
解:
(1) 如图, 过点 $ O $ 作 $ OE \perp AB $ 交 $ AB $ 于点 $ E $.
　　　　　　
$\because AO = BO = 50\mathrm{mm}, AB = 50\mathrm{mm}$,
$\therefore AO = BO = AB$.
$\therefore \triangle AOB$ 为等边三角形.
$\therefore \angle AOB = 60^\circ$;
(2) $\because \triangle AOB$ 为等边三角形, $ OE \perp AB $,
$\therefore AE = BE$.
又 $\because AB = 50\mathrm{mm}$, $\therefore AE = 25\mathrm{mm}$.
又 $\because AO = 50\mathrm{mm}$, $ OE \perp AB $,
$\therefore OE = \sqrt{AO^2 - AE^2} = \sqrt{50^2 - 25^2} = 25\sqrt{3}(\mathrm{mm})$.
即点 $ O $ 到 $ AB $ 的距离为 $ 25\sqrt{3}\mathrm{mm} $.

2. (人教九上 P83 教材改编)如图所示, 在$\odot O$中, AB, AC 为互相垂直且相等的两条弦,$OD⊥AB,OE⊥AC$, 垂足分别为 D, E.
(1)求证: 四边形 ADOE 是正方形;
(2)若$AC = 8$, 求$\odot O$的半径.

答案：

(1) 证明: 由题意, 得 $\angle ADO = \angle DAE = \angle AEO = 90^\circ$.
$\therefore$ 四边形 $ ADOE $ 是矩形.
$\because OD \perp AB$, $ OE \perp AC $,
$\therefore AD = \frac{1}{2}AB$, $ AE = \frac{1}{2}AC $.
$\because AB = AC$, $\therefore AD = AE$.
$\therefore$ 四边形 $ ADOE $ 是正方形.
(2) 解: 如图, 连接 $ OA $.
　　　　　　
$\because AC = 8$, $\therefore AE = 4$.
$\because$ 四边形 $ ADOE $ 是正方形,
$\therefore OE = AE = 4$.
在 $ \mathrm{Rt}\triangle AOE $ 中, $ OA = \sqrt{AE^2 + OE^2} $
$ = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2} $.
$\therefore \odot O$ 的半径是 $ 4\sqrt{2} $.

3. (人教九上 P124)如图, 菱形 ABCD 的对角线 AC, BD 相交于点 O, 四条边 AB, BC, CD, DA 的中点分别为 E, F, G, H. 这四个点共圆吗? 若共圆, 圆心在哪里?

答案：
解: 如图, 连接 $ OH $, $ OE $, $ OG $, $ OF $.
　　　　
$\because$ 四边形 $ ABCD $ 是菱形,
$\therefore AC \perp BD$, $ AB = BC = CD = AD $.
$\because$ 四条边的中点分别为 $ E $, $ F $, $ G $, $ H $,
$\therefore OH = \frac{1}{2}AD$, $ OG = \frac{1}{2}CD $,
$ OE = \frac{1}{2}AB $, $ OF = \frac{1}{2}BC $.
$\therefore OE = OF = OG = OH $.
$\therefore E$, $ F $, $ G $, $ H $ 四个点共圆, 圆心为点 $ O $.

4. (人教九上 P98)如图,$△ABC$为等腰三角形, O 是底边 BC 的中点, 腰 AB 与$\odot O$相切于点 D. 求证: AC 是$\odot O$的切线.

答案：
证明: 如图, 过点 $ O $ 作 $ OE \perp AC $ 于点 $ E $, 连接 $ OD $, $ OA $.
　　　　
$\because AB$ 与 $ \odot O $ 相切于点 $ D $, $\therefore AB \perp OD $.
$\because \triangle ABC$ 为等腰三角形, $ O $ 是底边 $ BC $ 的中点,
$\therefore AO$ 是 $ \angle BAC $ 的平分线.
$\therefore OE = OD$, 即 $ OE $ 是 $ \odot O $ 的半径.
$\because AC$ 经过 $ \odot O $ 的半径 $ OE $ 的外端点且垂直于 $ OE $,
$\therefore AC$ 是 $ \odot O $ 的切线.

5. (人教九上 P102)如图, 等圆$\odot O_{1}和\odot O_{2}$相交于 A, B 两点,$\odot O_{1}经过\odot O_{2}的圆心O_{2}$, 求$∠O_{1}AB$的度数
.

答案：
解: 如图, 连接 $ O_1O_2 $, $ O_1B $, $ O_2B $,
　　　　
$\because \odot O_1$ 和 $ \odot O_2 $ 是等圆, $ \odot O_1 $ 经过 $ \odot O_2 $ 的圆心 $ O_2 $,
$\therefore O_1B = O_1O_2 = O_2B$, $\therefore \triangle BO_1O_2$ 是等边三角形,
$\therefore \angle BO_2O_1 = 60^\circ$,
$\therefore \angle O_1AB = \frac{1}{2}\angle BO_2O_1 = 30^\circ $.

6. (人教九上 P125)如图,$\odot O的直径AB = 12$cm, AM 和 BN 是它的两条切线, DE 与$\odot O$相切于点 E, 并与 AM, BN 分别交于 D, C 两点, 设$AD = x, BC = y$, 求 y 关于 x 的函数解析式, 并画出它的图象.

答案：
解: 如图, 作 $ DF \perp BN $ 交 $ BC $ 于 $ F $,
　　　　　
$\because AM$, $ BN $ 分别与 $ \odot O $ 切于点 $ A $, $ B $,
$\therefore AB \perp AM$, $ AB \perp BN $.
又 $\because DF \perp BN$, $\therefore \angle BAD = \angle ABC = \angle BFD = 90^\circ$, $\therefore$ 四边形 $ ABFD $ 是矩形,
$\therefore BF = AD = x$, $ DF = AB = 12 $,
$\because BC = y$, $\therefore FC = BC - BF = y - x $,
$\because DE$ 切 $ \odot O $ 于 $ E $, $\therefore DE = DA = x$, $ CE = CB = y $, 则 $ DC = DE + CE = x + y $,
在 $ \mathrm{Rt}\triangle DFC $ 中, 由勾股定理得 $ (x + y)^2 = (y - x)^2 + 12^2 $,
整理为 $ y = \frac{36}{x}(x ＞ 0) $, 图象如图.