《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

15.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AC是直径,过点O作OD⊥AB于点D,延长DO交⊙O于点P,过点P作PE⊥AC于点E,作射线DE交BC的延长线于点F,连接PF.
(1)求证：OD= OE；
(2)求证：PF是⊙O的切线.

答案：

(1)证明:
∵OD⊥AB,PE⊥AC,
∴∠ADO=∠PEO=90°.
在△ADO和△PEO中,
{∠ADO=∠PEO,
∠AOD=∠POE,
OA=OP,
∴△ADO≌△PEO(AAS),
∴OD=OE;
(2)如图,连接PC.

∵AC是直径,
∴BC⊥AB.
∵OD⊥AB,
∴PD//BF,
∴∠OPC=∠PCF,∠ODE=∠CFE.
由
(1)可知OD=OE,则∠ODE=∠OED.
又
∵∠OED=∠FEC,
∴∠FEC=∠CFE,
∴EC=FC.
由OP=OC可知∠OPC=∠OCP,
又
∵∠OPC=∠PCF,
∴∠PCE=∠PCF.
在△PCE与△PCF中,
{EC=FC,
∠PCE=∠PCF,
PC=PC,
∴△PCE≌△PCF(SAS).
∴∠PFC=∠PEC=90°.由∠PDB=∠B=90°可知∠OPF=90°,即OP⊥PF.
∴PF是⊙O的切线.

16.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AC为直径,$\overset{\frown}{AB}$= $\overset{\frown}{BD}$,BE⊥DC,交DC的延长线于点E.
(1)求证：∠BCA= ∠BCE；
(2)求证：BE是⊙O的切线；
(3)过点B作BF⊥AC于点F,若BE= 3,CF= 1,求⊙O的半径.

答案：

(1)证明:
∵∠BCE+∠BCD=180°,∠BAD+∠BCD=180°,
∴∠BCE=∠BAD.
∵⌢AB=⌢BD,
∴∠BCA=∠BAD,
∴∠BCA=∠BCE;
(2)证明:如图,连接OB.

∵OB=OC,
∴∠BCA=∠OBC.
由
(1)可知∠BCE=∠BCA.
∴∠BCE=∠OBC.
∴OB//ED.
∵BE⊥ED,
∴OB⊥BE.
∴BE是⊙O的切线;
(3)解:
∵∠BCE=∠BCA,BF⊥AC,
BE⊥EC,
∴∠EBC=∠FBC,
∴BF=BE=3.
设⊙O的半径为r,则OB=OC=r,
∴OF=OC−CF=r−1.
在Rt△OBF中,OB²=OF²+BF²,
即r²=(r−1)²+3²,解得r=5,
∴⊙O的半径为5.