《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

二、新课学习
余弦、正切的定义：
如图,在$Rt\triangle ABC$中,
$\angle A$的余弦：$\cos A= \frac{\angle A\text{的邻边}}{\text{斜边}}=$$\frac {b}{c}$；
$\angle A$的正切：$\tan A= \frac{\angle A\text{的对边}}{\angle A\text{的邻边}}=$$\frac {a}{b}$；
$\angle A$的正弦、余弦、正切都是$\angle A$的锐角三角函数.

答案： $\frac {b}{c}$ $\frac {a}{b}$ 锐角三角函数

【例题1】(人教九下P65例2改编)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AB = 10$,$BC = 6$,求$\cos A=$$\frac{4}{5}$,$\tan A=$$\frac{3}{4}$的值.

答案： 解：由勾股定理，得$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$，
即$AC^{2}=AB^{2}-BC^{2}$，解得$AC=8$，
$\therefore \cos A=\frac {AC}{AB}=\frac {8}{10}=\frac {4}{5}$，$\tan A=\frac {BC}{AC}=\frac {6}{8}=\frac {3}{4}$．

【变式1】如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle A = 90^{\circ}$.
(1)$\sin B = $$\frac {1}{3}$,$\cos B = $$\frac {2\sqrt {2}}{3}$,$\tan B = $$\frac {\sqrt {2}}{4}$；
(2)$\sin C = $$\frac {2\sqrt {2}}{3}$,$\cos C = $$\frac {1}{3}$,$\tan C = $$2\sqrt {2}$.

答案： （1）$\frac {1}{3}$ $\frac {2\sqrt {2}}{3}$ $\frac {\sqrt {2}}{4}$
（2）$\frac {2\sqrt {2}}{3}$ $\frac {1}{3}$ $2\sqrt {2}$

【例题2】如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AB = 10$,$\tan A= \frac{1}{2}$,求$BC$的长.

解：依题意，得$\tan A=\frac {BC}{AC}=\frac {1}{2}$，且$AB=10$，
由勾股定理，得$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$，解得$AC=4\sqrt {5}$，$BC=$$2\sqrt {5}$．

答案： 解：依题意，得$\tan A=\frac {BC}{AC}=\frac {1}{2}$，且$AB=10$，
由勾股定理，得$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$，解得$AC=4\sqrt {5}$，$BC=2\sqrt {5}$．

【变式2】如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$BC = 9$,$\tan B= \frac{4}{3}$,求$AB$的长.

解：依题意，得$\tan B=\frac {AC}{BC}=\frac {AC}{9}=\frac {4}{3}$，解得$AC=$12．
在$Rt\triangle ABC$中，$AB=\sqrt {AC^{2}+BC^{2}}=$15．

答案： 解：依题意，得$\tan B=\frac {AC}{BC}=\frac {AC}{9}=\frac {4}{3}$，解得$AC=12$．
在$Rt\triangle ABC$中，$AB=\sqrt {AC^{2}+BC^{2}}=15$．

【例题3】如图,在菱形$ABCD$中,$DE\perp AB于点E$,$BE = 4$,$\cos A= \frac{3}{5}$,求菱形的周长.

解：由菱形性质，得$AB=AD$，即$AE+BE=AE+4=AD$，$\therefore AE=AD-4$．在$Rt\triangle AED$中，$\cos A=\frac {AE}{AD}=\frac {AD-4}{AD}=\frac {3}{5}$，解得$AD=$10．$\therefore$菱形的周长为40．

答案： 解：由菱形性质，得$AB=AD$，
即$AE+BE=AE+4=AD$，
$\therefore AE=AD-4$．
在$Rt\triangle AED$中，$\cos A=\frac {AE}{AD}=\frac {AD-4}{AD}=\frac {3}{5}$，解得$AD=10$．
$\therefore$菱形的周长为$4×AD=40$．

【变式3】如图,过$\odot O$外一点,作$\odot O的切线AB$,切点为$B$,连接$OA交\odot O于点C$,$AC = 16$,$\sin A= \frac{5}{13}$,求$\odot O$的面积.

解：连接$OB$．
$\because AB$为$\odot O$切线，$\therefore OB⊥AB$．
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=OC=r$．
在$Rt\triangle ABO$中，$\sin A=\frac {OB}{AO}=\frac {r}{r+16}=\frac {5}{13}$，解得$r=$10，
$\therefore \odot O$的面积$S=πr^{2}=$100π．

答案： 解：连接$OB$．
$\because AB$为$\odot O$切线，$\therefore OB⊥AB$．
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=OC=r$．
在$Rt\triangle ABO$中，$\sin A=\frac {OB}{AO}=\frac {r}{r+16}=\frac {5}{13}$，解得$r=10$，
$\therefore \odot O$的面积$S=πr^{2}=100π$．