《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

9.如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,点E在⊙0外.
(1)若AE是⊙O的切线,求证：∠EAC= ∠D；
证明:∵AE是⊙O的切线,
∴BA⊥AE,∠BAE=90°.
∴∠CAE+∠BAC=90°,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠BCA=90°,
∴∠BAC+∠CBA=90°,
∴∠CBA=∠CAE.
∵⌢AC所对的圆周角是∠CBA,∠D,
∴∠CBA=∠D,
即∠EAC=∠D
(2)若∠EAC= ∠D,求证：AE是⊙O的切线.
证明:∵⌢AC所对圆周角有∠D,∠CBA.
∴∠D=∠CBA.
又∵∠EAC=∠D,
∴∠EAC=∠CBA,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠BCA=90°.
∴∠B+∠BAC=90°,
∴∠EAC+∠BAC=90°,
∴BA⊥AE,
又∵OA是⊙O的半径,
∴AE是⊙O的切线

答案： 证明:
(1)
∵AE是⊙O的切线,
∴BA⊥AE,∠BAE=90°.
∴∠CAE+∠BAC=90°,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠BCA=90°,
∴∠BAC+∠CBA=90°,
∴∠CBA=∠CAE.
∵⌢AC所对的圆周角是∠CBA,∠D,
∴∠CBA=∠D,
即∠EAC=∠D;
(2)
∵⌢AC所对圆周角有∠D,∠CBA.
∴∠D=∠CBA.
又
∵∠EAC=∠D,
∴∠EAC=∠CBA,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠BCA=90°.
∴∠B+∠BAC=90°,
∴∠EAC+∠BAC=90°,
∴BA⊥AE,
又
∵OA是⊙O的半径,
∴AE是⊙O的切线.

10.如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,点D,E,F分别是边AB,BC,AC上的点,以AD为直径的半圆O经过点E,F,且AE平分∠CAB.
(1)求证：BC是半圆O的切线；
(2)若∠B= 30°,AB= 12,求CF的长.

答案：

(1)证明:如图,连接OE.

∵AE平分∠CAB,
∴∠CAE=∠DAE,
∵OA=OE,
∴∠EAO=∠AEO,
∴∠CAE=∠AEO,
∴AC//OE,
∵∠C=90°,
∴∠OEB=90°,
又
∵OE是⊙O的半径,
∴BC是半圆O的切线;
(2)解:如图,连接DF.
∵∠C=∠OEB=90°,
∠B=30°,AB=12,
∴AC=1/2 AB=6,OB=2OE,
∵OE=OD,
∴OD=BD,
∴OA=OE=OD=BD=4,
∴AD=8,
∵AD是半圆O的直径,
∴∠C=∠DFA=90°,
∴DF//BC,
∴∠B=∠FDA=30°,
∴AF=1/2 AD=4,
∴CF=AC−AF=2.

11.(2024·北京期末)如图,在Rt△OAB中,∠OAB= 90°,∠ABO= 30°,C为OB边的中点,⊙O经过点C,BD与⊙O相切于点D.
(1)求证：AB与⊙O相切；
(2)若AB= 2,求AD的长.

答案：

(1)证明:在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠ABO=30°,
∴OA=1/2 OB.
∵C为OB边的中点,
∴OC=1/2 OB.
∴OA=OC,
∴OA是⊙O的半径,
∴AB与⊙O相切;
(2)解:连接OD.

∵BD与⊙O相切于点D,AB与⊙O相切,
∴AB=BD,
在△ABO与△DBO中,{OA=OD,
AB=BD,
OB=OB,
∴△ABO≌△DBO(SSS),
∴∠DBO=∠ABO=30°,
∴∠ABD=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴AD=AB=2.

12.如图,在平面直角坐标系中有5个点：A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3).
(1)画出△ABC的外接圆⊙P,并指出点D与⊙P的位置关系；
(2)判断直线DE与⊙P位置关系.

答案：
解:
(1)如图所示.点D在⊙P上.

∵圆心P在线段BC,AC的垂直平分线上,
∴点P的坐标为(−1,0).
∵PB为半径,PD=PB=√5,
∴点D在⊙P上;
(2)相切.如图,连接PD,PE,则PE²=1²+3²=10,
又
∵PD²=5,DE²=5,
∴PE²=PD²+DE²,
∴∠PDE=90°.
又
∵点D在⊙P上,
∴直线DE与⊙P相切.

13.如图,点O为正方形ABCD的对角线AC上的一点,BC与⊙O相切于点E.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AB= 10,OA= 4$\sqrt{2}$,求⊙O的半径.

答案：

(1)证明:如图,过点O作OF⊥CD.

∵AC为正方形ABCD的对角线,
∴∠ACB=∠ACD.
∵BC为⊙O的切线,
∴OE⊥BC.
又
∵OF⊥CD,
∴OF=OE,
∴CD是⊙O的切线;
(2)解:
∵正方形ABCD的边长为10,
∴AB=BC=10,∠B=90°,∠ACB=45°,
∴AC=√(AB²+BC²)=10√2.
∵OE⊥BC,∠ACB=45°,
∴OE=EC.
设OE=EC=r,
∴OC=√(OE²+EC²)=√2 r.
∵OA+OC=AC,
∴√2 r+4√2=10√2,
∴r=6,
∴⊙O的半径为6.

14.如图,⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A,C,D,且与AB相切于点A.
(1)求证：BC为⊙O的切线；
(2)求∠ABC的度数.

答案：

(1)证明:如图,连接OA,OB,OC.
∵AB与⊙O相切于点A,
∴OA⊥AB,即∠OAB=90°.
∵四边形ABCD为菱形,
∴BA=BC.
∵在△ABO和△CBO中,{AB=CB,
OA=OC,
OB=OB,
∴△ABO≌△CBO(SSS),
∴∠BCO=∠BAO=90°,
∴OC⊥BC.
∵OC为⊙O的半径,
∴BC为⊙O的切线;

(2)解:如图,连接BD.
∵△ABO≌△CBO,
∴∠AOB=∠COB.
∵四边形ABCD为菱形,
∴BD平分∠ABC,DA=DC.
∴点O在BD上.
∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
∵∠BOC=∠ODC+∠OCD,
∴∠BOC=2∠ODC.
∵CB=CD,
∴∠OBC=∠ODC,
∴∠BOC=2∠OBC.
由
(1)知∠BOC+∠OBC=90°,
∴∠OBC=30°,
∴∠ABC=2∠OBC=60°.