《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

【例题4】如图,一次函数$y_{1}= kx + b与反比例函数y_{2}= \frac {m}{x}(x＜0)的图象相交于A$,$B$两点,且与坐标轴的交点为点$C(-6,0)$,$D(0,6)$,点$B的横坐标为-4$。
(1)试确定反比例函数的解析式；
(2)求$\triangle AOB$的面积；
(3)当$x＜0$时,请直接写出关于$x的不等式kx + b＞\frac {m}{x}$的解集。

(1)反比例函数的解析式为$y = -\frac{8}{x}$；
(2)$\triangle AOB$的面积为6；
(3)关于$x的不等式kx + b＞\frac {m}{x}$的解集为$-4＜x＜-2$。

答案： 【例题4】解：
(1)$\because$一次函数的图象与坐标轴的交点为$C(-6,0)$，$D(0,6)$，
$\therefore\begin{cases}-6k + b = 0\\b = 6\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1\\b = 6\end{cases}$，
$\therefore$一次函数解析式为$y = x + 6$.
当$x = - 4$时，$y = - 4 + 6 = 2$，
$\therefore$点$B$的坐标为$(-4,2)$，$m = - 4×2 = - 8$，
$\therefore$反比例函数的解析式为$y = -\frac{8}{x}$；
(2)$\because$点$A$与点$B$是反比例函数图象与一次函数图象的交点，
$\therefore$可得$x + 6 = -\frac{8}{x}$，解得$x = - 2$或$x = - 4$，
$\therefore$点$A$的坐标为$(-2,4)$，
$\therefore S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOC} - S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2}×6×4 - \frac{1}{2}×6×2 = 6$；
(3)由图象得$kx + b＞\frac{m}{x}$的解集为$-4＜x＜-2$.

【变式4】如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y_{1}= ax + b$($a$,$b$为常数,且$a≠0$)与反比例函数$y_{2}= \frac {m}{x}$($m$为常数,且$m≠0$)的图象交于点$A(-2,1)$,$B(1,n)$。
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
反比例函数的解析式为$y_{2}=-\frac{2}{x}$，一次函数的解析式为$y_{1}=-x - 1$
(2)直接写出当$y_{1}＜y_{2}$时,自变量$x$的取值范围。
$-2＜x＜0$或$x＞1$

答案： 【变式4】解：
(1)将点$A(-2,1)$代入$y_{2}=\frac{m}{x}$中，得$1=\frac{m}{-2}$，解得$m = - 2$.
$\therefore$反比例函数的解析式为$y_{2}=-\frac{2}{x}$.
令$x = 1$，则$y=\frac{-2}{1}=-2$.即点$B$坐标为$(1,-2)$.
将点$A(-2,1)$，$B(1,-2)$代入一次函数$y_{1}=ax + b$中，得$\begin{cases}1 = - 2a + b\\-2 = a + b\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a = - 1\\b = - 1\end{cases}$，
$\therefore$一次函数的解析式为$y_{1}=-x - 1$；
(2)当$y_{1}＜y_{2}$时，自变量$x$的取值范围为$-2＜x＜0$或$x＞1$.

【例题5】你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面,面条的总长度$y$(单位：$m$)是面条的粗细(横截面积)$S$(单位：$mm^{2}$)的反比例函数,其图象如图。
(1)写出$y与S$的函数解析式；
解：设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{S}(k\neq0)$，把点$(4,25)$代入$y=\frac{k}{S}$，得$25=\frac{k}{4}$，解得$k = 100$，
$\therefore y$与$S$的函数解析式为$y=$$\frac{100}{S}(S＞0)$；
(2)当面条粗$2mm^{2}$时,面条的总长度是多少米？
解：当$S = 2$时，$y=\frac{100}{2}=$50.
答：面条的总长度是50$m$.

答案： 【例题5】解：
(1)设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{S}(k\neq0)$，把点$(4,25)$代入$y=\frac{k}{S}$，得$25=\frac{k}{4}$，解得$k = 100$，
$\therefore y$与$S$的函数解析式为$y=\frac{100}{S}(S＞0)$；
(2)当$S = 2$时，$y=\frac{100}{2}=50$.
答：面条的总长度是$50m$.

【变式5】一般情况下,学生的注意力在上课后逐渐增强,中间有段时间处于较理想的稳定状态,随后开始分散,实验结果表明,学生的注意力指数$y随时间x$(单位：$min$)的变化规律如图(其中$AB$,$BC$分别为线段,$CD$为双曲线的一部分)。
(1)上课后第$5min与第30min$相比较,何时学生的注意力更集中？
答：第30$min$注意力更集中；
(2)某道难题需连续讲$19min$,为保证效果,学生注意力指数不宜低于$36$,老师能否在所需的状态下讲完这道题？
答：能.

答案： 【变式5】解：
(1)设线段$AB$所在的直线解析式为$y_{1}=k_{1}x + 20$，把点$B(10,40)$代入，得$k_{1}=2$，
$\therefore y_{1}=2x + 20(0\leq x\leq10)$.
设点$C$，$D$所在的双曲线的解析式为$y_{2}=\frac{k_{2}}{x}(x＞25)$，
把点$C(25,40)$代入，得$k_{2}=1000$，
$\therefore y_{2}=\frac{1000}{x}$.
当$x_{1}=5$时，$y_{1}=2×5 + 20 = 30$；
当$x_{2}=30$时，$y_{2}=\frac{1000}{x}=\frac{100}{3}$.
$\therefore y_{1}＜y_{2}$.
即第$30min$注意力更集中；
(2)令$y_{1}=36$，则$36 = 2x + 20$，解得$x_{1}=8$.
令$y_{2}=36$，则$36=\frac{1000}{x}$，解得$x_{2}\approx27.8$.
$\because27.8 - 8 = 19.8(min)＞19min$，
$\therefore$经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲完这道题目.