《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.(2025·福田一模)用配方法解方程$x^{2}+2x-1= 0$,下列配方正确的是(B)
A. $(x+1)^{2}= 1$
B. $(x+1)^{2}= 2$
C. $(x-1)^{2}= 2$
D. $(x-1)^{2}= 1$

答案： B

2. 将方程$x^{2}-6x-1= 0$配方得$(x-3)^{2}= m$,则$m$的值为(D)
A. -8
B. -10
C. 9
D. 10

答案： D

3. 解方程：$(x+3)(x-3)= 2x$.

答案： 解：$x^{2}-9=2x$，
$x^{2}-2x=9$，
$x^{2}-2x+1=9+1$，
$(x-1)^{2}=10$，
$x-1=\pm\sqrt{10}$，
解得 $x_{1}=1+\sqrt{10},x_{2}=1-\sqrt{10}$。

4. 如果方程$x^{2}+4x+n= 0$可以配方成$(x+m)^{2}= 3$,那么$(n-m)^{2025}=$-1.

答案： -1

5.(核心素养)已知等腰三角形的两边是方程$x^{2}-7x+10= 0$的两根,求该等腰三角形的周长.

答案： 解：$x^{2}-7x=-10$，
$x^{2}-7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=\left(\frac{7}{2}\right)^{2}-10$，
$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$，
$x-\frac{7}{2}=\pm\frac{3}{2}$，
解得 $x_{1}=5,x_{2}=2$。
①当腰为5，底为2时，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是 $2+5+5=12$；
②当腰为2，底为5时，$\because 2+2＜5$，
$\therefore$ 不符合三角形的三边关系定理，不符合题意，舍去。
$\therefore$ 该等腰三角形的周长为12。

6.(数学思想——配方法)阅读下列材料：
配方法是数学中经常用到的一个重要方法,所谓配方就是将某一个多项式变形为一个完全平方式,变形一定要是恒等的. 例如：
$x^{2}+4x+5= x^{2}+4x+4+1= (x+2)^{2}+1$,
$\because (x+2)^{2}≥0$,$\therefore (x+2)^{2}+1≥1$,
$\therefore x^{2}+4x+5$的最小值为1.
试利用配方法解决下列问题：
(1)填空：$x^{2}-4x+5= (x-$2$)^{2}+$1；
(2)求代数式$x^{2}-6x+5$的最小值.

答案：
(1) 2 1
(2) 解：$x^{2}-6x+5=x^{2}-6x+9-4=(x-3)^{2}-4$，
$\because (x-3)^{2}\geq0$，
$\therefore (x-3)^{2}-4\geq-4$，
$\therefore x^{2}-6x+5$ 的最小值是-4。