《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、新课学习
旋转的性质：
一个图形旋转后得到一个新图形.
(1) 新旧图形的大小和形状完全相同(即全等)只是位置发生改变；
(2) 对应线段相等,对应角相等,对应边的夹角为旋转角.

答案： 相同　位置　相等　相等

如图,若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得到的,则：
(1) 旋转中心是点O；
(2) 点A的对应点是点C；
(3) ∠AOC=∠BOD=90°.

答案：
(1)点O　
(2)点C　
(3)∠BOD　90°

【例题1】如图,一块等腰直角三角板ABC绕点C旋转到△EDC的位置,点A,C,D共线,AB= 2.
(1) 旋转角= 135°；
(2) CE= 2√2；
(3) 连接BE,求BE的长.

答案： 解:
(1)135　
(2)2√2
(3)
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AB=BC=2,AC=√(AB²+BC²)=√(2²+2²)=2√2,
由旋转知,AC=CE=2√2,∠BCE=90°,
∴BE=√(BC²+CE²)=√(2²+(2√2)²)=2√3.

【变式1】(人教九上P63教材改编)如图,Rt△ABC中,∠C= 90°,∠ABC= 30°,将△ABC绕点B顺时针旋转,得到△DBE(A,D两点为对应点),点E恰好在AB上.
(1) 画出旋转后的图形；
(2) 连接AD,求∠ADE的度数.

答案：
解:
(1) 如图所示;
(2)根据题意，得∠BED=∠C=90°,∠DBE=∠ABC=30°,BD=BA,
∴∠ADB=∠DAB=1/2×(180°−30°)=75°,
∵∠AED=∠BED=90°,
∴∠ADE=90°−∠DAB=90°−75°=15°.

【例题2】如图,在正方形ABCD中,△ABE绕点B旋转90°到△CBE'的位置,若AE= 1,BE= 2,CE= 3,连接EE'.
(1) △BEE'是等腰直角三角形；
(2) EE'= 2√2；
(3) 判断△EE'C的形状并证明.

答案： 解:
(1)等腰直角
(2)2√2　解析:在Rt△BEE'中,由勾股定理得EE'=√(2²+2²)=2√2.
(3)△EE'C为直角三角形.证明:由旋转知
CE'=AE=1,由
(2)知,EE'=2√2.
在△EE'C中,EE'²+CE'²=8+1=9=EC².
∴由勾股定理的逆定理,得△EE'C为直角三角形且∠EE'C=90°.

【变式2】(创新题)如图,点P是等边三角形ABC内一点,且PA= 6,PB= 8,PC= 10,若将△PAC绕点A逆时针旋转得到△P'AB,连接PP'.求：
(1) PP'= 6；
(2) ∠APB的度数为150°.

答案： 解:
(1)70　　解析:
∵由旋转的性质，得∠PAP'=∠CAB=60°,
∴P'A=PA=6.
∴△APP'是等边三角形.
∴PP'=PA=6.
(2)由旋转的性质，得P'B=PC=10.
∵△APP'是等边三角形,
∴∠APP'=60°.
由
(1)知PP'=6,
∴PB²+PP'²=8²+6²=10²=P'B².
∴△P'PB是直角三角形，且∠BPP'=90°.
∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=60°+90°=150°.