《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 如图,点P为$\odot O$外一点,PA为$\odot O$的切线,A为切点,PO交$\odot O$于点B,$∠P= 30^{\circ },OB= 3$,则线段OP的长为(C)

A.3
B.$3\sqrt {3}$
C.6
D.9

答案： C

2. (人教九上P98教材改编)如图,AB是$\odot O$的直径,AC是$\odot O$的切线,A为切点,$∠B= 45^{\circ }$,求证:$AB= AC$.

证明:∵AC是⊙O的切线，
　∴∠BAC=90°,
　∵∠B=45°,
　∴∠C=180°−90°−45°=45°,
　∴∠B=∠C,∴AB=AC.

答案： 证明:
∵AC是⊙O的切线，
∴∠BAC=90°,
∵∠B=45°,
∴∠C=180°−90°−45°=45°,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC.

3. 如图,已知$\triangle ABC$中,$AB= AC,DE⊥AC$于点E,DE与半圆O相切于点D.
(1)求证:$\triangle ABC$是等边三角形;
(2)若半圆的直径为10 cm,求CD的长度.

答案：

(1)证明:如图，连接OD.
　　　　　
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE=90°.
∵DE⊥AC,
∴OD//EC.
∴∠BDO=∠A.
∵OB=OD,
∴∠B=∠BDO.
∴∠A=∠B=∠C.
∴△ABC是等边三角形;
(2)解:如图,连接CD,
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°.
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°,
∴∠BCD=30°
∵BC=10cm,
∴BD=5cm.
∴CD=$\sqrt{BC^{2}-BD^{2}}$=$\sqrt{10^{2}-5^{2}}$=5$\sqrt{3}$cm

4. (核心素养练)如图,$\triangle ABC内接于\odot O$,过点A作直线AE.
(1)如图1,若AE是$\odot O$的切线,AB为$\odot O$的直径,求证:$∠1= ∠B;$
(2)如图2,若AE是$\odot O$的切线,求证:$∠1= ∠B.$

答案：
证明:
(1)
∵AE是⊙O的切线，
∴AE⊥AB,
∴∠1+∠CAB=90°,
　又
∵AB为直径，
∴∠B+∠CAB=90°,
∴∠1=∠B;
(2)如答图，连接OA.
　　　　　
∵AE是⊙O的切线，
∴∠1+∠OAC=90°.
　延长AO交⊙O于点B'，连接CB'.
∵$\overset{\frown}{AC}$=$\overset{\frown}{AC}$,
∴∠B'=∠B.
∵AB'为⊙O的直径，
∴∠ACB'=90°,
∴∠B'+∠OAC=90°,
　故∠1=∠B',即∠1=∠B.