《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. (北师九下 P3)如图,甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?

解：由图形甲中数据，可得 $\tan \alpha = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$，
由图形乙中数据，可得另一直角边为 $\sqrt{13^2 - 5^2} = 12(m)$，
故 $\tan \beta = \frac{5}{12} ＜ \tan \alpha = \frac{1}{2}$，故 $\alpha ＞ \beta$，故甲自动扶梯较陡。

答案： 解：由图形甲中数据，可得 $\tan \alpha = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$，
由图形乙中数据，可得另一直角边为 $\sqrt{13^2 - 5^2} = 12(m)$，
故 $\tan \beta = \frac{5}{12} ＜ \tan \alpha = \frac{1}{2}$，故 $\alpha ＞ \beta$，故甲自动扶梯较陡。

2. (人教九下 P84)某型号飞机的机翼形状如图所示. 根据图中数据计算 AB 的长为$(\frac{5\sqrt{3}}{3} - 1.6)$m. (结果保留根号)

答案： $(\frac{5\sqrt{3}}{3} - 1.6)$

3. (人教九下 P84 教材改编)如图,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足 $ 45 ^ { \circ } \leq \alpha \leq 60 ^ { \circ } $. 现有一架长 6 m 的梯子.
(1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙?$3\sqrt{3}m$
(2)当梯子底端距离墙面 $ 3 \sqrt { 3 } $ m 时,α 等于多少度?$30^{\circ}$此时人是否能够安全使用这架梯子?不能够

答案： 解：
(1) 当 $\angle BAC = 60^{\circ}$ 时，梯子能安全使用且它的顶端最高，
在 $Rt\triangle ABC$ 中，有 $\sin \angle BAC = \frac{BC}{AB}$，
$\therefore BC = AB \cdot \sin \angle BAC = 6 × \sin 60^{\circ} = 3\sqrt{3}(m)$，
$\therefore$ 使用这架梯子最高可以安全攀上 $3\sqrt{3}m$ 的墙；
(2) 在 $Rt\triangle ABC$ 中，有 $\cos \angle BAC = \frac{AC}{AB} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore \angle BAC = 30^{\circ}$，
$\because 30^{\circ} ＜ 45^{\circ}$，
$\therefore$ 当梯子底端距离墙面 $3\sqrt{3}m$ 时，梯子与地面所成的角等于 $30^{\circ}$，这时人不能够安全使用这架梯子。

4. (人教九下 P76)如图,建筑物 BC 上有一旗杆 AB,从与 BC 相距 40 m 的 D 处观测旗杆顶部 A 的仰角为 $ 50 ^ { \circ } $, 观测旗杆底部 B 的仰角为 $ 45 ^ { \circ } $, 求旗杆的高度(结果保留小数点后一位). (参考数据: $ \sin 50 ^ { \circ } \approx 0.766 $, $ \cos 50 ^ { \circ } \approx 0.643 $, $ \tan 50 ^ { \circ } \approx 1.192 $)

解：由题意，得 $\angle ACD = 90^{\circ}$，$\angle ADC = 50^{\circ}$，$CD = 40m$，
在 $Rt\triangle ACD$ 中，$\tan \angle ADC = \frac{AC}{CD}$，
$\therefore AC = CD \cdot \tan 50^{\circ} \approx 40 × 1.192 = 47.68$，
在 $Rt\triangle BCD$ 中，$\angle BDC = 45^{\circ}$，$\therefore BC = CD = 40$。
$\therefore AB = AC - BC \approx 47.68 - 40 \approx$7.7(m)。
答：旗杆的高度约为7.7m。

答案： 解：由题意，得 $\angle ACD = 90^{\circ}$，$\angle ADC = 50^{\circ}$，$CD = 40m$，
在 $Rt\triangle ACD$ 中，$\tan \angle ADC = \frac{AC}{CD}$，
$\therefore AC = CD \cdot \tan 50^{\circ} \approx 40 × 1.192 = 47.68$，
在 $Rt\triangle BCD$ 中，$\angle BDC = 45^{\circ}$，$\therefore BC = CD = 40$。
$\therefore AB = AC - BC \approx 47.68 - 40 \approx 7.7(m)$。
答：旗杆的高度约为 $7.7m$。

5. (人教九下 P85)如图,折叠矩形 ABCD 的一边 AD,使点 D 落在 BC 边的点 F 处. 已知折痕 $ A E = 5 \sqrt { 5 } $ cm, 且 $ \tan \angle E F C = \frac { 3 } { 4 } $.
(1) $ \triangle A F B $ 与 $ \triangle F E C $ 有什么关系?$\triangle AFB \sim \triangle FEC$
(2)求矩形 ABCD 的周长.36cm

答案： 解：
(1) $\triangle AFB \sim \triangle FEC$。理由如下：
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，$\therefore \angle B = \angle C = \angle D = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAF + \angle AFB = 90^{\circ}$，
由折叠的性质，得 $\angle AFE = \angle D = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle AFB + \angle CFE = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle BAF = \angle CFE$，
$\therefore \triangle AFB \sim \triangle FEC$；
(2) 在 $Rt\triangle EFC$ 中，$\tan \angle EFC = \frac{EC}{FC} = \frac{3}{4}$，
设 $EC = 3x cm$，则 $FC = 4x cm$。
$\therefore EF = \sqrt{EC^2 + FC^2} = 5x cm$，
由折叠的性质，得 $DE = EF = 5x cm$，
$\therefore AB = CD = DE + CE = 8x cm$，
在 $Rt\triangle ABF$ 中，$\angle BAF = \angle EFC$，
$\therefore \tan \angle BAF = \frac{BF}{AB} = \frac{3}{4}$，
$\therefore BF = 6x cm$。
$\therefore AF = \sqrt{AB^2 + BF^2} = 10x cm$，
在 $Rt\triangle AEF$ 中，$AE = \sqrt{AF^2 + EF^2} = 5\sqrt{5}x = 5\sqrt{5}$，解得 $x = 1$，
$\therefore AD = BC = AF = 10x = 10cm$，$AB = CD = 8x = 8cm$。
$\therefore$ 矩形 $ABCD$ 的周长为 $10 + 10 + 8 + 8 = 36(cm)$。