《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 用配方法解方程 $ x^{2}+6x = 1 $ 时,方程两边应同时(A)
A.加 9
B.减 9
C.加 36
D.减 36

答案： A

2. 若关于 $ x $ 的方程 $ (m - 3)x^{2}+x - m = 0 $ 是一元二次方程,则 $ m $ 的取值范围是(A)
A.$ m \neq 3 $
B.$ m = 3 $
C.$ m \geq 3 $
D.$ m \neq 0 $

答案： A

3. 方程 $ x^{2}-4x = 0 $ 的解为(C)
A.$ x_{1}= x_{2}= 2 $
B.$ x_{1}= x_{2}= 4 $
C.$ x_{1}= 0,x_{2}= 4 $
D.$ x_{1}= -2,x_{2}= 2 $

答案： C

4. 若 $ \alpha,\beta $ 是一元二次方程 $ x^{2}-5x - 2 = 0 $ 的两个实数根,则 $ \alpha+\beta $ 的值为(B)
A.-5
B.5
C.-2
D.$ \frac{2}{5} $

答案： B

5. 不解方程,判断方程 $ (x - 2)(x - 3)+2024 = 0 $ 的根的情况(C)
A.有两个不相等实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法判断

答案： C

6. 方程 $ x^{2}-2 = 0 $ 的根为$ x_{1}=\sqrt{2} $，$ x_{2}=-\sqrt{2} $。

答案： $ x_{1}=\sqrt{2} $，$ x_{2}=-\sqrt{2} $

7. 已知 $ m $ 是方程 $ x^{2}-x - 3 = 0 $ 的一个根,则 $ m^{2}-m + 9 $ 的值等于12。

答案： 12

8. 若关于 $ x $ 的方程 $ (k - 1)x^{2}+2x - 2 = 0 $ 有两个实数根,则 $ k $ 的取值范围是$ k \geq \frac{1}{2} $ 且 $ k \neq 1 $。

答案： $ k \geq \frac{1}{2} $ 且 $ k \neq 1 $ 解析：
∵ 方程 $ (k - 1)x^{2} + 2x - 2 = 0 $ 有两个实数根，
∴ $ \Delta = 4 + 8(k - 1) = 8k - 4 \geq 0 $，解得 $ k \geq \frac{1}{2} $，又
∵ $ k - 1 \neq 0 $，
∴ $ k $ 的取值范围是 $ k \geq \frac{1}{2} $ 且 $ k \neq 1 $。

9. 如图,将一块正方形空地划出部分区域进行绿化,原空地一边减少了 2 m,另一边减少了 3 m,剩余一块面积为 20 $ m^{2} $ 的矩形空地。设原正方形空地的边长为 $ x $ m,可列方程为 $ (x - 3)(x - 2) = 20 $。

答案： $ (x - 3)(x - 2) = 20 $

10. 已知方程 $ x^{2}+5x - 1 = 0 $ 的两个实数根 $ x_{1},x_{2} $,则 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} = $ 27。

答案： 27 解析：根据题意，得 $ x_{1} + x_{2} = -5 $，$ x_{1} \cdot x_{2} = -1 $，$ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1} \cdot x_{2} = (-5)^{2} - 2 × (-1) = 27 $。

11. 解方程。
(1)$ x^{2}-2x - 3 = 0 $；原方程可以变形为 $ (x - 3)(x + 1) = 0 $，∴ $ x - 3 = 0 $ 或 $ x + 1 = 0 $，解得 $ x_{1} = 3 $，$ x_{2} = -1 $
(2)$ 2x^{2}+2\sqrt{3}x + 1 = 0 $。∵ $ a = 2 $，$ b = 2\sqrt{3} $，$ c = 1 $，∴ $ \Delta = b^{2} - 4ac = (2\sqrt{3})^{2} - 4 × 2 × 1 = 4 ＞ 0 $，∴ 方程有两个不相等的实数根，$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} = \frac{-2\sqrt{3} \pm \sqrt{4}}{2 × 2} = \frac{-\sqrt{3} \pm 1}{2} $，∴ $ x_{1} = \frac{-\sqrt{3} + 1}{2} $，$ x_{2} = \frac{-\sqrt{3} - 1}{2} $

答案： 解：
(1) 原方程可以变形为 $ (x - 3)(x + 1) = 0 $，
∴ $ x - 3 = 0 $ 或 $ x + 1 = 0 $，解得 $ x_{1} = 3 $，$ x_{2} = -1 $；
(2)
∵ $ a = 2 $，$ b = 2\sqrt{3} $，$ c = 1 $，
∴ $ \Delta = b^{2} - 4ac = (2\sqrt{3})^{2} - 4 × 2 × 1 = 4 ＞ 0 $，
∴ 方程有两个不相等的实数根，$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} = \frac{-2\sqrt{3} \pm \sqrt{4}}{2 × 2} = \frac{-\sqrt{3} \pm 1}{2} $，
∴ $ x_{1} = \frac{-\sqrt{3} + 1}{2} $，$ x_{2} = \frac{-\sqrt{3} - 1}{2} $。

12. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动,带动了市场头盔的销量。某头盔经销商 5 至 7 月份统计,某品牌头盔 5 月份销售 2250 个,7 月份销售 3240 个,且从 5 月份到 7 月份销售量的月增长率相同。请解决下列问题。
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)为了达到市场需求,某工厂建了一条头盔生产线生产头盔,经过一段时间后,发现一条生产线最大产能是 900 个/天,但如果每增加一条生产线,每条生产线的最大产能将减少 30 个/天,现该厂要保证每天生产头盔 3900 个,在增加产能同时又要节省投入的条件下(生产线越多,投入越大),应该增加几条生产线？

答案： 解：
(1) 设该品牌头盔销售量的月增长率为 $ x $。依题意，得 $ 2250(1 + x)^{2} = 3240 $，解得 $ x_{1} = 0.2 = 20\% $，$ x_{2} = -2.2 $（不合题意，舍去）。答：该品牌头盔销售量的月增长率为 $ 20\% $；
(2) 设增加 $ y $ 条生产线，则 $ (900 - 30y)(y + 1) = 3900 $。解得 $ y_{1} = 4 $，$ y_{2} = 25 $（不合题意，舍去）。答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，应该增加 4 条生产线。