《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

【例题1】如图,抛物线$y = ax^{2}+bx + c与x轴交于点(-1,0)$,$(3,0)$,确定下列各式的符号：
(1)$a$＜$0$；
(2)$b$＞$0$；
(3)$c$＞$0$；
(4)$-\frac{b}{2a}$＞$0$；
(5)$a + b + c$＞$0$；
(6)$a - b + c$=$0$；
(7)$4a + 2b + c$＞$0$；
(8)$4a - 2b + c$＜$0$；
(9)$2a + b$=$0$；
(10)$b^{2}-4ac$＞$0$。

答案：
(1)＜
(2)＞
(3)＞
(4)＞
(5)＞
(6)=
(7)＞
(8)＜
(9)=
(10)＞

【变式1】对称轴为直线$x = 1的抛物线y = ax^{2}+bx + c$($a$,$b$,$c$为常数,且$a\neq0$)如图所示,小明同学得出了以下结论：①$abc ＞ 0$,②$b^{2}＞4ac$,③$4a + 2b + c ＞ 0$,④$3a + c ＞ 0$,⑤$a + b\leqslant m(am + b)$($m$为任意实数),⑥当$x ＜ -1$时,$y随x$的增大而减小。其中结论正确的个数为(C)

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： C 解析:①由图象可知:$a ＞ 0$,$c ＜ 0$,
∵对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a}=1$,$\therefore b = -2a ＜ 0$,$\therefore abc ＞ 0$,故①正确;②
∵抛物线与$x$轴有两个交点,$\therefore b^{2}-4ac ＞ 0$,$\therefore b^{2} ＞ 4ac$,故②正确;③
∵对称轴为直线$x = 1$,则$x = 0$与$x = 2$的函数值相等,$\therefore$当$x = 2$时,$y = 4a + 2b + c ＜ 0$,故③错误;④当$x = -1$时,$y = a - b + c = a - (-2a)+c ＞ 0$,$\therefore 3a + c ＞ 0$,故④正确;⑤当$x = 1$时,$y$取到最小值,此时,$y = a + b + c$,而当$x = m$时,$y = am^{2}+bm + c$,所以$a + b + c\leqslant am^{2}+bm + c$,故$a + b\leqslant am^{2}+bm$,即$a + b\leqslant m(am + b)$,故⑤正确;⑥当$x ＜ -1$时,$y$随$x$的增大而减小,故⑥正确,综上,正确的是①②④⑤⑥共5个,故选C.

【例题2】如图,抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)的对称轴为直线x = -2$,且过点$(1,0)$。现有以下结论：①$abc ＜ 0$；②$5a + c = 0$；③对于任意实数$m$,都有$2b + bm\leqslant4a - am^{2}$；④若点$A(x_{1},y_{1})$,$B(x_{2},y_{2})$是图象上任意两点,且$|x_{1}+2| ＜ |x_{2}+2|$,则$y_{1}＜y_{2}$。其中正确的结论是(C)

A.①②
B.②③④
C.①②④
D.①②③④

答案： C 解析:由图象可得,$a ＞ 0$,$b ＞ 0$,$c ＜ 0$,$\therefore abc ＜ 0$,故①正确;
∵抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的对称轴为直线$x = -2$,且过点$(1,0)$.$\therefore -\frac{b}{2a}=-2$,$a + b + c = 0$,$\therefore b = 4a$,$\therefore a + b + c = a + 4a + c = 0$,故$5a + c = 0$,故②正确;
∵当$x = -2$时,$y = 4a - 2b + c$取得最小值,$\therefore am^{2}+bm + c\geqslant4a - 2b + c$,即$2b + bm\geqslant4a - am^{2}$($m$为任意实数),故③错误;
∵抛物线开口向上,对称轴为直线$x = -2$,若点$A(x_{1},y_{1})$、$B(x_{2},y_{2})$是图象上任意两点,且$|x_{1}+2| ＜ |x_{2}+2|$,$\therefore y_{1} ＜ y_{2}$,故④正确;综上,结论正确的是①②④,故选C.

【变式2】(2024·深圳模拟)已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$图象的一部分如图所示,该函数图象经过点$(5,0)$,对称轴为直线$x = 2$。有下列结论：①$b ＞ 0$；②$a + c ＜ b$；③多项式$ax^{2}+bx + c可因式分解为(x + 1)(x - 5)$；④无论$m$为何值时,$am^{2}+bm\leqslant4a + 2b$。其中正确的个数有(B)

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： B 解析:
∵抛物线的开口方向下,$\therefore a ＜ 0$;
∵对称轴为直线$x = 2$,$\therefore -\frac{b}{2a}=2$,即$b = -4a ＞ 0$,故结论①正确;
∵函数图象经过点$(5,0)$,对称轴为直线$x = 2$,$\therefore$抛物线还过点$(-1,0)$,$\therefore a - b + c = 0$,即$a + c = b$,故结论②不正确;
∵抛物线过点$(-1,0)$,$(5,0)$,$\therefore y = ax^{2}+bx + c = a(x + 1)(x - 5)$,多项式$ax^{2}+bx + c$可因式分解为$a(x + 1)(x - 5)$,故结论③不正确;当$x = m$时,$y = am^{2}+bm + c$,当$x = 2$时,$y$有最大值:$y = 4a + 2b + c$,$\therefore$无论$m$为何值时,则有$am^{2}+bm + c\leqslant4a + 2b + c$,$\therefore am^{2}+bm\leqslant4a + 2b$,故结论④正确,综上,结论正确的是①④共2个,故选B.

1. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)的顶点坐标为(-1,n)$,其部分图象如图所示。以下结论错误的是(C)

A.$abc ＞ 0$
B.$4ac - b^{2}＜0$
C.$3a + c ＞ 0$
D.关于$x的方程ax^{2}+bx + c = n + 1$无实数根

答案： C 解析:
∵抛物线开口向下,$\therefore a ＜ 0$,
∵对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a}=-1$,$\therefore b = 2a ＜ 0$,
∵抛物线与$y$轴交于正半轴,$\therefore c ＞ 0$,$\therefore abc ＞ 0$,故选项A正确;
∵抛物线与$x$轴有两个交点,$\therefore b^{2}-4ac ＞ 0$,即$4ac - b^{2} ＜ 0$,故选项B正确;
∵抛物线的对称轴为直线$x = -1$,抛物线与$x$轴的一个交点在$(-3,0)$和$(-2,0)$之间,$\therefore$抛物线与$x$轴的另一个交点在$(0,0)$和$(1,0)$之间,$\therefore x = 1$时,$y ＜ 0$,即$a + b + c ＜ 0$,$\because b = 2a$,$\therefore 3a + c ＜ 0$,故选项C错误;
∵抛物线开口向下,顶点为$(-1,n)$,$\therefore$函数有最大值$n$,$\therefore$抛物线$y = ax^{2}+bx + c$与直线$y = n + 1$无交点,$\therefore$一元二次方程$ax^{2}+bx + c = n + 1$无实数根,故选项D正确.

2. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象如图所示,以下结论正确的有(C)
①$abc ＜ 0$；②$c + 2a ＜ 0$；③$9a - 3b + c = 0$；④$am^{2}-a + bm + b ＞ 0$($m$为任意实数)。

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： C 解析:
∵抛物线开口向上,$\therefore a ＞ 0$,
∵抛物线的对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a}=-1$,$\therefore b = 2a ＞ 0$,
∵抛物线与$y$轴的交点在$x$轴的下方,$\therefore c ＜ 0$,$\therefore abc ＜ 0$,故①正确;
∵$x = 1$时,$y = 0$,$\therefore a + b + c = 0$,$\therefore c = -a - 2a = -3a$,$\therefore c + 2a = -3a + 2a = -a ＜ 0$,故②正确;
∵抛物线的对称轴为直线$x = -1$,抛物线与$x$轴的一个交点坐标为$(1,0)$,$\therefore$抛物线与$x$轴的另外一个交点坐标为$(-3,0)$,$\therefore$当$x = -3$时,$y = 0$,即$9a - 3b + c = 0$,故③正确;
∵$x = -1$时,$y$有最小值,$\therefore a - b + c\leqslant am^{2}+bm + c$($m$为任意实数),$\therefore a - b\leqslant m(am + b)$($m$为实数),故④错误.故选C.