《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、预备知识
【引例】同时掷两枚质地均匀的硬币一次共有几种可能？两枚硬币正面都朝上的概率是多少？
方法一:用列表法,列举抛两枚硬币产生的所有可能的结果:

答案：
解:列表如下.

由图可知共有4种可能的结果，两枚正面朝上的可能只有1种，
∴两枚硬币正面朝上的概率为$\frac{1}{4}$。

二、新课学习
方法二:
(1)思考左边问题并填写下图:

(2)结合上图,写出同时掷两枚质地均匀的硬币一次共有4种可能,两枚硬币正面都朝上的概率是$\frac{1}{4}$;
(3)上述求概率的方法称为画树状图法.
(4)用列举法求概率的方法:①直接枚举法;②列表法;③画树状图法.

答案：
(1)反　反　
(2)4　$\frac{1}{4}$　
(3)画树状图法
(4)直接枚举法　列表法　画树状图法

【例题1】一个不透明的袋子中装有三个小球,它们除了分别标有的数字1,2,3不同外,其他完全相同,任意从袋子中摸出一球后放回,再任意摸出一球,求两次摸出的球所标数字之积为6的概率.

答案：
解:画树状图如下.
　　　
由树状图可知共有9种等可能的结果,其中两次摸出的球所标数字之积为6的结果共有2种,即概率为$\frac{2}{9}$。

【变式1】一个不透明的袋子中装有红球1个、绿球1个和白球2个,除颜色外无其他差别.随机摸出一个小球后不放回,再摸出一个球,求两次都摸到白球的概率.

答案：
解:画树状图如下.
　
共有12种等可能的结果,其中两次都摸到白球的结果共有2种,即概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。

【例题2】经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转,如果这三种可能性大小相同,求三辆汽车经过这个十字路口时,至少有一辆车向左转的概率.

答案：
解:画树状图如下.
　　
由图可知三辆汽车行驶的方向共有27种等可能的结果，至少有一辆汽车向左转的结果有19种，且所有结果出现的可能性相等，即至少有一辆汽车向左转的概率为$\frac{19}{27}$。

【变式2】(人教九上P140)假定鸟卵孵化后,雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果3枚鸟卵全部成功孵化,那么3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是多少?

答案：
解:画树状图如下.
　　第1只
　　　　
　　第2只
　　第3只
　　由树状图可知，共有8种等可能的结果，其中3只雏鸟中恰有2只雄鸟的结果有3种，
∴P(3只雏鸟中恰有2只雄鸟)=$\frac{3}{8}$。

1.三张外观相同的卡片分别标有数字1,2,3,把卡片背面朝上并洗匀,从中随机一次抽出两张,这两张卡片上的数字之和恰好等于3的概率是(B)
A.$\frac {1}{2}$
B.$\frac {1}{3}$
C.$\frac {1}{6}$
D.$\frac {1}{9}$

答案： B

2.有4根细木棒,长度分别为2cm,3cm,4cm,5cm,从中任选3根,求恰好能搭成一个三角形的概率为$\frac{3}{4}$.

答案： $\frac{3}{4}$

3.某市中考必须在历史、地理、生物三门学科(分别用L,D,S表示)中随机抽考一门进行升学考试.
(1)用树状图表示连续两年抽考的所有可能的结果;
(2)求连续两年抽到相同学科进行升学考试的概率.

答案：
解:
(1)画树状图如下.
　第一年 第二年
　所有结果为(L,L),(L,D)，(L,S)，(D,L),(D,D),(D,S),(S,L),(S,D),(S,S);
(2)由
(1)可知共有9种可能的情况,其中连续两年抽考相同学科的情况有3种,即概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。

4.有两部不同的电影A,B,甲、乙、丙3人分别从中任意选择一部观看.
(1)甲、乙两人都选择电影A的概率是___;
(2)用画树状图的方法求甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率.

答案：
解:
(1)$\frac{1}{4}$
(2)画树状图如下.
　　　　
　共有8种等可能的结果,其中甲、乙、丙3人选择同一部电影的结果为2种,则甲、乙、丙3 人选择同一部电影的概率为$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。