《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、新课学习
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
几何语言:如图,∵DC是⊙O的切线,∴OA⊥DC.

总结:见切点,连半径,得垂直.

答案： 垂直　DC是⊙O的切线　OA⊥DC

【例题1】如图,AB是$\odot O$的直径,AC是$\odot O$的切线,若$AB= AC= 1$,则$∠C$的度数是45°,$BC= $$\sqrt{2}$.

答案： 45°　$\sqrt{2}$

【变式1】如图,在$\odot O$中,AB为直径,BC为弦,CD为切线,连接OC.若$∠BCD= 50^{\circ }$,则$∠AOC$的度数为(C)

A.$40^{\circ }$
B.$50^{\circ }$
C.$80^{\circ }$
D.$100^{\circ }$

答案： C

【例题2】(人教九上P102教材改编)如图所示,AB为$\odot O$的直径,C为$\odot O$上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D.求证:AC平分$∠DAB$.

答案：
证明:如图，连接OC.
　　　　　　
　
∵CD与⊙O相切于点C,
　
∴OC⊥CD.
　　又
∵AD⊥CD,
∴AD//OC;
　
∴∠DAC=∠ACO.
　
∵OA=OC,
∴∠CAO=∠ACO.
　
∴∠DAC=∠CAO.
　
∴AC平分∠DAB.

【变式2】如图,在四边形ABCD中,$AD= CD$.以BC为直径的$\odot O$经过点A,D.点E在BC延长线上,且$CE= AB$.连接BD,DE.
(1)求证:$BD= DE;$
(2)若DE为$\odot O$的切线,$\odot O$的半径为4,求DE的长.

答案：

(1)证明:
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
　
∴∠A=∠DCE,
　　在△ABD与△CED中,
$\left\{\begin{array}{l} AB=CE,\\ ∠A=∠DCE,\\ AD=CD,\end{array}\right.$
　
∴△ABD≌△CED(SAS),
　
∴BD=DE.
(2)解: 如图,连接OD,
　
∵DE为⊙O的切线，
　
∴∠ODE=90°,
　
∵BC为直径，
　
∴∠BDC=90°,
∴∠BDO=∠EDC,
　　由
(1)知,BD=DE,
∴∠DBO=∠E,
　
∴△BDO≌△EDC(ASA),
　
∴OD=CD,
　
∵OD=OC,
∴△ODC是等边三角形，
　
∴CD=OC=4,BC=8,
　
∴DE=BD=$\sqrt{BC^{2}-CD^{2}}$=4$\sqrt{3}$.