《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

5. 在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中,$ \angle C = 90 ^ { \circ } , A B = 10 , A C = 5 \sqrt { 2 } $,则 $ \angle A $ 的度数为(C)
A.$ 30 ^ { \circ } $
B.$ 60 ^ { \circ } $
C.$ 45 ^ { \circ } $
D.$ 90 ^ { \circ } $

答案： C

6. 正比例函数 $ y = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } x $ 的图象与 $ x $ 轴正半轴的夹角为 $ \alpha $,则 $ \alpha = $$30^{\circ}$.

答案： $30^{\circ}$

7. 在 $ \triangle A B C $ 中,若 $ \sin A = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , \tan C = \sqrt { 3 } $,则 $ \triangle A B C $ 是(B)
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形

答案： B

8. 下列等式成立的是(A)
A.$ \sin ^ { 2 } 45 ^ { \circ } + \cos ^ { 2 } 45 ^ { \circ } = 1 $
B.$ 2 \tan 30 ^ { \circ } = \tan 60 ^ { \circ } $
C.$ 2 \sin 30 ^ { \circ } = \tan 30 ^ { \circ } $
D.$ \sin 45 ^ { \circ } \cdot \cos 45 ^ { \circ } = 1 $

答案： A

9. 菱形 $ O A B C $ 在平面直角坐标系中的位置如图所示,若 $ \angle A O C = 45 ^ { \circ } , O C = \sqrt { 2 } $,则点 $ B $ 的坐标为(C)

A.$ ( \sqrt { 2 } , 1 ) $
B.$ ( 1 , \sqrt { 2 } ) $
C.$ ( \sqrt { 2 } + 1 , 1 ) $
D.$ ( 1 , \sqrt { 2 } + 1 ) $

答案： C 解析：过点$C$作$CD \perp OA$于点$D$，依题可设点$C$坐标为$(x, y)$，其中$\frac { x } { \sqrt { 2 } } = \cos 45^{\circ}$，$\frac { y } { \sqrt { 2 } } = \sin 45^{\circ}$，解得$x = 1$，$y = 1$，$\therefore$点$C$的坐标为$(1, 1)$。$\because$菱形每一条边都相等，$\therefore$点$B$的坐标为$( \sqrt { 2 } + 1, 1 )$。故选C。

10. (实践探究)如图,根据图中数据完成填空：

(1)【发现】①对于锐角 $ \alpha , \sin \alpha $ 的值随 $ \alpha $ 的增大而____,$ \cos \alpha $ 的值随 $ \alpha $ 的增大而____,$ \tan \alpha $ 的值随 $ \alpha $ 的增大而____；
②在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中,$ \angle A + \angle B = $____,$ \sin A $ 与 $ \cos B $ 的数量关系为____.
(2)【研究】将 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 放大 $ k $ 倍(或缩小)得到 $ \mathrm { Rt } \triangle A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } $,则 $ \angle A = \angle A ^ { \prime } $,猜想 $ \sin A $____$ \sin A ^ { \prime } $,$ \cos A $____$ \cos A ^ { \prime } $,$ \tan A $____$ \tan A ^ { \prime } $(选填“$＜$”“$＞$”或“$=$”).
(3)【扩展】如果已知 $ \angle A , \angle A ^ { \prime } $ 是锐角,$ \tan A = \tan A ^ { \prime } $,猜想 $ \angle A = \angle A ^ { \prime } $ 是否成立. 如果不成立,举出反例；如果成立,请说明理由.

答案：

(1)①增大 减小 增大 ②$90^{\circ}$ $\sin A = \cos B$
(2)$=$ $=$ $=$
(3)解：$\angle A = \angle A'$成立。理由如下：

构造如图所示的Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得$\tan A = \frac { B C } { A C } = \tan A' = \frac { B C' } { A C' }$，
$\therefore \frac { B C } { A C } = \frac { B C' } { A C' }$，
$\because \angle C = \angle C' = 90^{\circ}$，
$\therefore$Rt△ABC∽Rt△A'B'C'，
$\therefore \angle A = \angle A'$。