《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、新课学习
仰角、俯角的概念：
如图,在进行测量时,(1)从下往上看,视线与水平线的夹角叫做仰角；
(2)从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角。

如图,(1)观测点A的仰角是20°；
(2)观测点B的俯角是70°。

答案：
(1)仰角
(2)俯角
(1)$20^{\circ}$
(2)$70^{\circ}$

【例题1】如图,一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断,木杆顶端落在地面上,且与地面成38°角,求木杆折断之前的高度。(参考数据：$\sin 38^{\circ} \approx 0.62$,$\cos 38^{\circ} \approx 0.79$,$\tan 38^{\circ} \approx 0.78$)

解:依题意,得$AC = 3.1m$,$∠B = 38^{\circ}$,
$\therefore AB=\frac{AC}{\sin B}\approx\frac{3.1}{0.62}=$5$(m)$,
$\therefore$木杆折断之前的高度$=AC + AB = 3.1 + 5 =$8.1$(m)$.

答案： 解:依题意,得$AC = 3.1m$,$∠B = 38^{\circ}$,
$\therefore AB=\frac{AC}{\sin B}\approx\frac{3.1}{0.62}=5(m)$,
$\therefore$木杆折断之前的高度$=AC + AB = 3.1 + 5 = 8.1(m)$.

【变式1】如图,某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°,荷塘另一端D处与C,B在同一直线上,已知AC= 36米,CD= 18米,求荷塘的宽度BD。(结果保留根号)

解:由题可知$∠CAB = 60^{\circ}$.
在$Rt\triangle ABC$中,$\tan 60^{\circ}=\frac{BC}{AC}$,即$\frac{BC}{36}=\sqrt{3}$,$\therefore BC = 36\sqrt{3}$(米),
$\therefore BD = BC - CD =$$(36\sqrt{3} - 18)$米.

答案： 解:由题可知$∠CAB = 60^{\circ}$.
在$Rt\triangle ABC$中,$\tan 60^{\circ}=\frac{BC}{AC}$,即$\frac{BC}{36}=\sqrt{3}$,$\therefore BC = 36\sqrt{3}$(米),
$\therefore BD = BC - CD = (36\sqrt{3} - 18)$米.

【例题2】如图,小方在放风筝,风筝飞到C处时的线长为20m,此时小方正好站在A处,并测得∠CBD= 60°,牵引底端B离地面1.5m,求此时风筝离地面的高度。

解:依题意,得∠CDB = ∠BAE = ∠ABD = ∠AED = 90°,
∴四边形ABDE为矩形,
∴DE = AB = 1.5m.
在Rt△BCD中,sin∠CBD=CD/BC,
∴CD = BC·sin 60°=20×√3/2=10√3(m),
∴CE=(10√3+1.5)m.

答案： 解:依题意,得$∠CDB = ∠BAE = ∠ABD = ∠AED = 90^{\circ}$,
$\therefore$四边形$ABDE$为矩形,
$\therefore DE = AB = 1.5m$.
在$Rt\triangle BCD$中,$\sin∠CBD=\frac{CD}{BC}$,
$\therefore CD = BC\cdot\sin 60^{\circ}=20×\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}(m)$,
$\therefore CE=(10\sqrt{3}+1.5)m$.

【变式2】如图,在离树18米的A处,用测角仪测得树顶的仰角是30°,测角仪AD的高为3米,求树高BC。(结果保留根号)

答案：
解:如图,作$DE⊥BC$交$BC$于点$E$,

则$\tan 30^{\circ}=\frac{BE}{DE}=\frac{BE}{18}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,解得$BE = 6\sqrt{3}$,
$\therefore BC = BE + EC = BE + AD = (6\sqrt{3} + 3)$米.