《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、新课学习
A. 二次函数的一般式：$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$,其中$a$是二次项系数,$b$是一次项系数,$c$是常数项.
B. 利用配方法把二次函数$y = ax^{2}+bx + c化为y = a(x - h)^{2}+k$的形式. 其顶点为(h,k),对称轴为x=h.

答案： (h,k) x=h

(1)$\because x^{2}+6x +$9$=(x +$3$)^{2}$；
$\therefore y = x^{2}+6x + 5 = ($x+3$)^{2}$−4；
(2)$\because x^{2}-3x+\frac{9}{4}= (x -$$\frac{3}{2}$$)^{2}$；
$\therefore y = x^{2}-3x - 4 = ($x - $\frac{3}{2}$$)^{2}-\frac{25}{4}$.

答案： 9 3 x+3 −4 $\frac{3}{2}$ x - $\frac{3}{2}$

【例题1】利用配方法把抛物线$y = x^{2}-6x$化为$y = a(x - h)^{2}+k$的形式为$y=(x−3)²−9$,其开口方向为向上、顶点坐标为$(3,−9)$，对称轴为直线$x=3$.

答案： 解:y=(x−3)²−9,开口向上,顶点坐标为(3,−9),对称轴为直线x=3.

【变式1】利用配方法将抛物线$y = x^{2}-8x + 6$化为$y = a(x - h)^{2}+k$的形式$y=(x−4)²−10$,并写出其开口方向向上、顶点坐标(4,−10)和对称轴直线x=4.

答案： 解:y=(x−4)²−10,开口向上,顶点坐标为(4,−10),对称轴为直线x=4.

【例题2】求抛物线$y = x^{2}-3x + 2$的顶点坐标.

答案： 解:
∵y=x²−3x+2=x²−3x+$\frac{9}{4}$−$\frac{9}{4}$+2 ，即y=(x - $\frac{3}{2}$)² - $\frac{1}{4}$，
∴抛物线顶点坐标为($\frac{3}{2}$,-$\frac{1}{4}$).

【变式2】把抛物线$y = x^{2}-2x + 8$化成顶点式,并写出顶点坐标.

答案： 解:
∵y=x²−2x+8=x²−2x+1+7=(x−1)²+7,
∴顶点坐标是(1,7).

【例题3】(人教九上P38改编)求二次函数$y = -2x^{2}+4x - 1$的最大值.

答案： 解:
∵y=−2x²+4x−1=−2(x²−2x+1−1)−1=−2(x−1)²+1,
∴抛物线的最大值为1.

【变式3】求二次函数$y= \frac{1}{2}x^{2}-2x + 3$的最小值.

答案： 解:y=$\frac{1}{2}$x²−2x+3=$\frac{1}{2}$(x²−4x+4)−2+3=$\frac{1}{2}$(x−2)²+1,
∴抛物线的最小值为1.