《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. (2024·惠州期中)若函数 y= (m - 1)x^{|m|+1}+5 是关于 x 的二次函数,则 m = (A)
A.-1
B.1
C.1 或 -1
D.2

答案： A

2. 函数 $ y= \frac{\sqrt{x + 1}}{x - 1} $ 的自变量的取值范围是$ x \geq -1 $ 且 $ x \neq 1 $.

答案： $ x \geq -1 $ 且 $ x \neq 1 $

3. 关于二次函数 $ y = -\frac{1}{2}(x - 3)^{2}-2 $ 的图象与性质,下列结论错误的是(D)
A.抛物线开口方向向下
B.当 $ x = 3 $ 时,函数有最大值,最大值为 -2
C.当 $ x＞3 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D.抛物线可由 $ y= \frac{1}{2}x^{2} $ 经过平移得到

答案： D

4. 已知抛物线 $ y= \frac{1}{2}ax^{2}+(1 - a)x - 1(a＜0) $,则它的顶点 $ M $ 一定在(A)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： A

5. 将抛物线 $ y = x^{2}-2x + 3 $ 向上平移 2 个单位长度,再向右平移 3 个单位长度后得到的抛物线的解析式为(B)
A.$ y= (x - 1)^{2}+4 $
B.$ y= (x - 4)^{2}+4 $
C.$ y= (x + 2)^{2}+6 $
D.$ y= (x - 4)^{2}+6 $

答案： B

6. 若二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的图象经过点 $ (-1,0) $ 和 $ (3,0) $,则关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 的解为(C)
A.$ x_{1}= -3,x_{2}= -1 $
B.$ x_{1}= 1,x_{2}= 3 $
C.$ x_{1}= -1,x_{2}= 3 $
D.$ x_{1}= -3,x_{2}= 1 $

答案： C

7. 已知抛物线 $ y = x^{2}-5x - 6 $.
(1) 与 $ x $ 轴的交点坐标为$ (6,0) $，$ (-1,0) $;
(2) 与 $ y $ 轴的交点坐标为$ (0,-6) $;
(3) 对称轴为$ x = \frac{5}{2} $.

答案：
(1) $ (6,0) $，$ (-1,0) $
(2) $ (0,-6) $
(3) $ x = \frac{5}{2} $

8. 顶点在点 $ M(-2,1) $,且图象经过原点的二次函数解析式是(B)
A.$ y= (x - 2)^{2}+1 $
B.$ y = -\frac{1}{4}(x + 2)^{2}+1 $
C.$ y= (x + 2)^{2}+1 $
D.$ y= \frac{1}{4}(x - 2)^{2}+1 $

答案： B

9. 已知抛物线 $ y = x^{2}+bx + c $ 的部分图象如图所示,当 $ y＞0 $,则 $ x $ 的取值范围是$ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 3 $.

答案： $ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 3 $

10. 如图,二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 的图象经过点 $ (-1,2) $,且与 $ x $ 轴交点的横坐标分别为 $ x_{1},x_{2} $,其中 $ -2＜x_{1}＜-1 $,$ 0＜x_{2}＜1 $.下列结论:① $ 4a - 2b + c＜0 $;② $ 2a - b＜0 $;③ $ abc＜0 $;④ $ b^{2}+8a＞4ac $.其中正确的有______①②④.

答案： ①②④ 解析：①当 $ x = -2 $ 时，$ y = 4a - 2b + c ＜ 0 $，故①符合题意；②函数图象的对称轴为 $ x = -\frac{b}{2a} ＞ -1 $，且 $ a ＜ 0 $，$ \therefore 2a - b ＜ 0 $，故②符合题意；③ $ a $，$ b $ 同号，$ c ＞ 0 $，故③不符合题意；④顶点纵坐标大于 2，故 $ \frac{4ac - b^2}{4a} ＞ 2 $，由于 $ a ＜ 0 $，故④符合题意。