《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.如图,△ABC和△ADE均是顶角为120°的等腰三角形,求证:BD= CE;
证明：∵△ABC和△ADE均是等腰三角形，∴AB = AC，AD = AE。
∵∠BAC = ∠DAE = 120°，
∴∠BAC−∠DAC = ∠DAE−∠DAC，
即∠BAD = ∠CAE。
在△BAD和△CAE中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { A B = A C, } \\ { \angle B A D = \angle C A E, } \\ { A D = A E, } \end{array} \right. $
∴△BAD≌△CAE(SAS)。
∴BD = CE。

答案： 证明：
∵△ABC和△ADE均是等腰三角形，
∴AB = AC，AD = AE。
∵∠BAC = ∠DAE = 120°，
∴∠BAC−∠DAC = ∠DAE−∠DAC，
即∠BAD = ∠CAE。
在△BAD和△CAE中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { A B = A C, } \\ { \angle B A D = \angle C A E, } \\ { A D = A E, } \end{array} \right. $
∴△BAD≌△CAE(SAS)。
∴BD = CE。

2.如图,△ADE是由△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的,且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上,AD,EC相交于点P.
(1)求∠BDE的度数;90°
(2)F是EC延长线上的一点,且∠CDF= ∠DAC.判断DF和PF的数量关系,并证明.DF=PF

答案： 解：
(1)
∵△ADE是由△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的，
∴AB = AD，∠BAD = 90°，
△ABC≌△ADE。
在Rt△ABD中，∠B = ∠ADB = 45°，
∴∠ADE = ∠B = 45°，
∴∠BDE = ∠ADB + ∠ADE = 90°；
(2)DF = PF，证明如下：
由旋转的性质可知，AC = AE，∠CAE = 90°。
在Rt△ACE中，∠ACE = ∠AEC = 45°。
∵∠CDF = ∠CAD，∠ACE = ∠ADB = 45°，
∴∠ADB + ∠CDF = ∠ACE + ∠CAD，
即∠FPD = ∠FDP，
∴DF = PF。

3.如图,$△ABC和△ADE$均为等边三角形,点$B$,$D$,$E$在同一直线上,连接$CE$,求$∠BEC$的度数;

解：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE = ∠AED = ∠ADE = 60°，
∴∠BAC−∠DAC = ∠DAE−∠DAC，∠ADB = 180°−∠ADE = 120°，
∴∠BAD = ∠CAE。

∴△BAD≌△CAE(SAS)。
∴∠AEC = ∠ADB = 120°。
∴∠BEC = ∠AEC−∠AED = 120°−60° = 60°。

答案： 解：
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE = ∠AED = ∠ADE = 60°，
∴∠BAC−∠DAC = ∠DAE−∠DAC，∠ADB = 180°−∠ADE = 120°，
∴∠BAD = ∠CAE。
∴△BAD≌△CAE(SAS)。
∴∠AEC = ∠ADB = 120°。
∴∠BEC = ∠AEC−∠AED = 120°−60° = 60°。

4.在一次小组合作探究课上,小明将正方形$ABCD和正方形AEFG$按如图1所示的位置摆放(点$E$,$A$,$D$在同一条直线上),连接$BE$,$DG$.小明与小组组员讨论后,提出了以下两个问题,请你帮他解答:
(1)$BE和DG$之间的数量关系为____.
(2)将正方形$AEFG绕点A$旋转到如图2所示的位置时,线段$BE和DG$有怎样的数量和位置关系?请写出结论并证明.

答案：

(1)BE = DG。
(2)解：BE = DG，且BE⊥DG。证明如下：
∵AB = AD，AE = AG，∠BAD = ∠EAG = 90°，
∴∠BAD + ∠DAE = ∠EAG + ∠DAE，
即∠BAE = ∠DAG，
∴△EAB≌△GAD(SAS)，
∴BE = DG，∠ABE = ∠ADG。
如答图1，设BE与AD交于点H，与DG交于点I，

∵∠AHB = ∠IHD，
∴∠DIH = ∠BAH = 90°，
∴BE⊥DG。