《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 如图,在一面靠墙的空地上用长为24m的篱笆,围成中间隔有2道篱笆的长方形花圃,墙的最大长度为8m。设花圃的与墙垂直的一边AB长为$xm$,面积为$Sm^{2}$。
(1) 求S与x之间的函数解析式；
(2) 当x取何值时,所围成的花圃面积最大？最大值是多少？
(1) S与x之间的函数解析式为S=-4x²+24x；
(2) 当x=4时，所围成的花圃面积最大，最大值是32m²。

答案： 解:
(1)
∵花圃与墙面的一边AB长为xm,则BC=(24−4x)m,根据题意,得S=x(24−4x)=−4x²+24x;
(2)S=−4x²+24x=−4(x²−6x)=−4(x−3)²+36.
∵墙的可用长度为8m,
∴0＜24−4x≤8,解得4≤x＜6,
∴当x=4时,花圃面积最大,S最大值=−4+36=32,
即当x=4时,花圃面积最大,最大值为32m².

2. 将一根长为40cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,若设其中一段长为$xcm$,两个正方形的面积之和为$ycm^{2}$。
(1) 写出y与x之间的函数解析式；
(2) 当x为何值时,y有最小值？最小值为多少？

答案： 解:
(1)
∵其中一段铁丝的长度为xcm,
∴另一段的长度为(40−x)cm.则正方形的边长分别为$\frac{1}{4}x$cm,$\frac{1}{4}(40−x)$cm,
∴y=$\frac{1}{16}x^{2}+\frac{1}{16}(40−x)^{2}$;
(2)由
(1)得y=$\frac{1}{16}x^{2}+\frac{1}{16}(40−x)^{2}=\frac{1}{8}(x−20)^{2}+50$,
∴当x=20时,y有最小值，最小值为50.

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B = 90^{\circ}$,$AB = 6cm$,$BC = 10cm$,点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度运动,点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度运动,点P,Q分别从点A,B同时出发,当P,Q两点中有一点停止运动时,另一点也停止运动,设运动的时间为$ts$。$(t\geq0)$
(1) 当t为何值时,PQ的长度等于$4\sqrt{2}cm$；$\frac{2}{5}$或2
(2) 求出$S_{\triangle BPQ}$关于t的函数解析式,计算点P,Q出发几秒时,$S_{\triangle BPQ}$有最大值,并求出这个最大面积。$S_{\triangle BPQ}=-t²+6t$，3，9cm²

答案： 解:
(1)依题意,得AP=tcm,BQ=2tcm,
∵AB=6cm,
∴PB=AB−AP=(6−t)(cm).在Rt△PBQ中,PB²+BQ²=PQ²,
即(6−t)²+(2t)²=(4√2)²,解得t=2或t=$\frac{2}{5}$,故当t=$\frac{2}{5}$或2时,PQ的长度等于4√2cm;
(2)由
(1)知AP=tcm,BQ=2tcm,
∵当P,Q两点中有一点停止运动时,则另一点也停止运动，
∴$\begin{cases} 0 \leq t \leq 6 \\ 0 \leq 2t \leq 10 \end{cases}$，解得 $ 0 \leq t \leq 5 $。
∴S△BPQ=$\frac{1}{2}$PB·BQ=$\frac{1}{2}$(6−t)·2t=−t²+6t=−(t−3)²+9,
∴当t=3时,S△BPQ有最大值,最大值为9,即点P,Q出发3s时,S△BPQ有最大值,最大面积为9cm².

4. 如图,校园要建苗圃,其形状为直角梯形,有两边借用夹角为$135^{\circ}$的两面墙,另外两边是总长为30m的铁栅栏。设DC为$xm$,梯形的面积为$ym^{2}$。
(1) 求y与x的函数解析式；
(2) 求y的最大值。

答案：
解:
(1)如图，过点A作AE⊥BC于点E,连接DE,

则四边形ADCE为矩形,DC=AE=xm,∠DAE=∠AEB=90°,则∠BAE=∠BAD−∠EAD=45°,
∴DC=AE=BE=xm,AD=CE=(30−2x)m,
∴梯形ABCD的面积y=$\frac{1}{2}$(AD+BC)·CD=$\frac{1}{2}$(30−2x+30−x)·x=-$\frac{3}{2}$x²+30x;
(2)y=-$\frac{3}{2}$x²+30x=-$\frac{3}{2}$(x−10)²+150,
∴当x=10时，y最大值=150.