《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

【例题4】若 $ x = -1 $ 是关于x的方程 $ x^{2} + 3x + m = 0 $ 的一个解,求m的值.
解：将$x=-1$代入方程，得$(-1)^{2}+3×(-1)+m=0$，得$m=$2。

答案： 解：将$x=-1$代入方程，得$(-1)^{2}+3×(-1)+m=0$，得$m=2$。

【变式4】若 $ x = 1 $ 是关于x的一元二次方程 $ x^{2} + ax + 2b = 0 $ 的解,则 $ 2a + 4b $ 的值是(C)
A.-1
B.1
C.-2
D.2

答案： C

1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是(C)
A.$ x^{2} + \frac{1}{x} = 1 $
B.$ ax^{2} + bx + c = 0 $
C.$ (x + 1)(x - 2) = 1 $
D.$ 3x^{2} - 2xy - 5y = 0 $

答案： C

2. 若 $ (m - 1)x^{2} + x + 3 = 0 $ 是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是(D)
A.任意实数
B.$ m ＞ 0 $
C.$ m ＞ 1 $
D.$ m \neq 1 $

答案： D

3. 将一元二次方程 $ x^{2} = 2(1 - x) $ 化为一般形式为(D)
A.$ x^{2} - 2x + 1 = 0 $
B.$ x^{2} - 2x + 2 = 0 $
C.$ x^{2} - 2 + 2x = 0 $
D.$ x^{2} + 2x - 2 = 0 $

答案： D

4. 若 $ x = 1 $ 是方程 $ x^{2} - 2x + a = 0 $ 的根,则 $ a = $1.

答案： 1

5. 已知 $ (m - 2)x^{|m|} + bx - 1 = 0 $ 是关于x的一元二次方程,则m的值为-2.

答案： -2

6. 两个连续自然数的乘积为56,设较小的自然数为x,则可以列出一元二次方程为(C)
A.$ x(x + 2) = 56 $
B.$ x(x - 2) = 56 $
C.$ x(x + 1) = 56 $
D.$ x(x - 1) = 56 $

答案： C

7. (整体思想)若 $ x = 1 $ 是方程 $ x^{2} + ax - b = 0 $ 的一个解,求 $ \frac{2a - 2b}{a^{2} - 2ab + b^{2}} $ 的值.
解：由题意，将$x=1$代入方程，得
$1^{2}+a×1-b=0$，
即$a-b=-1$，
$\therefore$原式$=\frac{2(a-b)}{(a-b)^{2}}=\frac{2}{a-b}=-2$。

答案： 解：由题意，将$x=1$代入方程，得
$1^{2}+a×1-b=0$，
即$a-b=-1$，
$\therefore$原式$=\frac{2(a-b)}{(a-b)^{2}}=\frac{2}{a-b}=-2$。

8. 已知 $ x = a $ 是关于x的一元二次方程 $ x^{2} + 5x - 4 = 0 $ 的根,求 $ a^{2} + 5a + 1 $ 的值.
解：将$x=a$代入方程，得
$a^{2}+5a-4=0$，
$\therefore a^{2}+5a=4$，
$\therefore a^{2}+5a+1=$5。

答案： 解：将$x=a$代入方程，得
$a^{2}+5a-4=0$，
$\therefore a^{2}+5a=4$，
$\therefore a^{2}+5a+1=5$。

9. (2024·肇庆期中)已知m是方程 $ x^{2} - x - 2 = 0 $ 的一个根,则代数式 $ m^{2} - m + 2025 $ 的值等于(A)
A.2027
B.2026
C.2025
D.2024

答案： A 解析：$\because$将$m$代入原方程可得$m^{2}-m=2$，$\therefore m^{2}-m+2025=2+2025=2027$，故选A。

10. (易错)已知关于x的方程 $ (m + 1)x^{m^{2} + 1} + (m - 3)x - 1 = 0 $.
(1)当 $ m = $1时,它是一元二次方程；
(2)当 $ m = $-1或0时,它是一元一次方程.

答案：
(1)1
(2)-1或0 解析：
(1)方程是一元二次方程时应满足$m+1≠0$且$m^{2}+1=2$，解得$m=1$；
(2)方程是一元一次方程时应满足$m+1=0$或$m^{2}+1=1$，解得$m=-1$或0。