《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

4.(人教九上P118数学活动改编)项目式学习:车轮的形状.
【问题提出】车轮为什么要做成圆形,这里面有什么数学原理?
【合作探究】

(1)探究A组:如图1,圆形车轮的半径为8cm,在平坦地面上滚动时,车轮轴心O到地面的距离始终为____cm;
(2)探究B组:如图2,正方形车轮的轴心为O,若正方形的边长为8cm,求车轮轴心O位于最高点与最低点时的高度差.
(3)探究C组:如图3,有一个破损的圆形车轮,车轮轴心为O,半径为8cm,破损部分是一个弓形,其所对圆心角为$90^{\circ }$,让车轮在平坦的地面上无滑动地滚动一周,求点O经过的路程.
【问题解决】
(4)经探究发现:车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定,即车轮轴心是否在一条水平线上运动.将车轮设计为圆形是运用了____原理.

答案：

(1) $8$
解：
(2) 如答图 1，连接 $OA$，以点 $A$ 为圆心，$OA$ 长为半径作 $ \overparen{OC} $，交正方形于点 $D$，连接 $AC (\angle OAC = 90^{\circ}) $，则 $ \overparen{OC} $ 为正方形车轮的轴心 $O$ 移动的部分轨迹。

∵ 正方形的边长为 $8 \text{ cm}$，
∴ $OB = AB = 4 \text{ cm}$。
∴ $OA = 4\sqrt{2} \text{ cm}$。
∴ 车轮轴心 $O$ 到地面的最长距离为 $OB = 4 \text{ cm}$，
车轮轴心 $O$ 到地面的最短距离为 $AD = OA = 4\sqrt{2} \text{ cm}$。
∴ 车轮轴心 $O$ 到地面的最长距离与最短距离的差为 $ (4\sqrt{2} - 4) \text{ cm}$。
(3) 解：滚动轨迹如答图 2，3，4，5 所示。

从答图 2 运动到答图 3，点 $O$ 绕点 $A$ 旋转了 $45^{\circ}$，点 $O$ 经过的路程为 $ \frac{45\pi × 8}{180} = 2\pi (\text{cm}) $。
从答图 3 运动到答图 4，点 $O$ 绕点 $B$ 旋转了 $45^{\circ}$，点 $O$ 经过的路程为 $ \frac{45\pi × 8}{180} = 2\pi (\text{cm}) $。
从答图 4 运动到答图 5，车轮旋转了 $270^{\circ}$，点 $O$ 经过的路程为 $ \frac{270\pi × 8}{180} = 12\pi (\text{cm}) $。
$ 2\pi + 2\pi + 12\pi = 16\pi (\text{cm}) $
∴ 让车轮在地上无滑动地滚动一周，点 $O$ 经过的路程为 $ 16\pi (\text{cm}) $。
(4) 圆上所有的点到圆心的距离相等（或圆的旋转不变性）