《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. (跨学科融合)如图是用杠杆撬石头的示意图,点 C 是支点,当用力压杠杆的 A 端时,杠杆绕点 C 转动,另一端 B 向上翘起,石头就被撬动. 现有一块石头,要使其滚动,杠杆的 B 端必须向上翘起 5 cm,已知 $ AB:BC = 10:1 $,要使这块石头滚动,至少要将杠杆的 A 端向下压____45cm.

答案： 45

2. (数学文化)《墨子·天文志》记载:“执规矩,以度天下之方圆.”度方知圆,感悟数学之美.如图,正方形 ABCD 的面积为 4,以它的对角线的交点为位似中心,作它的位似图形 $ A'B'C'D' $.若 $ AB:A'B' = 1:2 $,则四边形 $ A'B'C'D' $外接圆的周长为____$ 4 \sqrt { 2 } \pi $.

答案： $ 4 \sqrt { 2 } \pi $

3. (北师九上 P96)(黄金分割)一般地,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC(如图),如果 $ \frac{AC}{AB} = \frac{BC}{AC} $,则称线段 AB 被点 C 黄金分割,点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,AC 与 AB 的比叫做黄金比. 计算黄金比. (提示:设 $ AB = 1 $)

解：设 $ A B = 1 $，$ A C = x $，则 $ B C = 1 - x $，
由 $ \frac { A C } { A B } = \frac { B C } { A C } $，得 $ A C ^ { 2 } = A B \cdot C B $，
即 $ x ^ { 2 } = 1 × ( 1 - x ) $，整理，得 $ x ^ { 2 } + x - 1 = 0 $，
解得 $ x _ { 1 } = \frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 } $，$ x _ { 2 } = \frac { - \sqrt { 5 } - 1 } { 2 } $（不合题意，舍去），
故黄金比为$ \frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 } $。

答案： 解：设 $ A B = 1 $，$ A C = x $，则 $ B C = 1 - x $，
由 $ \frac { A C } { A B } = \frac { B C } { A C } $，得 $ A C ^ { 2 } = A B \cdot C B $，
即 $ x ^ { 2 } = 1 × ( 1 - x ) $，整理，得 $ x ^ { 2 } + x - 1 = 0 $，
解得 $ x _ { 1 } = \frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 } $，$ x _ { 2 } = \frac { - \sqrt { 5 } - 1 } { 2 } $（不合题意，舍去），
故黄金比为 $ \frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 } $。

4. (北师九上 P120)(方程思想)公园中的儿童游乐场是两个相似三角形地块,相似比为 $ 2:3 $,面积的差为 $ 30m^{2} $,它们的面积之和为多少?

答案： 解：
∵ 两个三角形相似且这两个相似三角形的相似比 $ 2 : 3 $，
∴ 这两个三角形的面积比为 $ 4 : 9 $，
设它们的面积分别为 $ 4 x $，$ 9 x $，
∵ 两个相似三角形的面积差为 30，
∴ $ 9 x - 4 x = 30 $，
∴ $ x = 6 $，
∴ 它们的面积之和 $ = 4 x + 9 x = 13 x = 13 × 6 = 78 $（$ m ^ { 2 } $）。

5. (人教九下 P28)如图,将一张矩形纸片沿较长边的中点对折,如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似,那么原来矩形的长宽比是多少? 将这张纸如此再对折下去,得到的矩形都相似吗?

原来矩形的长宽比是$\sqrt{2}:1$，将这张纸如此再对折下去，得到的矩形都相似。

答案： 解：如图，设矩形的长为 $ a $，宽为 $ b $。
∵ 矩形 $ A B F E \backsim $ 矩形 $ A D C B $，
∴ $ \frac { B F } { D C } = \frac { E F } { B C } $，即 $ \frac { \frac { a } { 2 } } { b } = \frac { b } { a } $，
∴ $ a : b = \sqrt { 2 } : 1 $。
同理，这张纸再如上述对折下去，得到的矩形都相似。

6. (人教九下 P44 拓广探索)(运算能力、几何直观、模型观念)如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = 8 $, $ AC = 6 $, $ BC = 9 $,如果动点 D 以每秒 2 个单位长度的速度,从点 B 出发沿边 BA 向点 A 运动,直线 $ DE // BC $,交 AC 于点 E. 记 x 秒时 DE 的长度是 y,写出 y 关于 x 的函数解析式$ y = -\frac{9}{4}x + 9 $，并画出它的图象.

答案： 解：由题意可知 $ B D = 2 x $，
则 $ A D = A B - B D = 8 - 2 x $，
∵ $ D E // B C $，
∴ $ \frac { A D } { A B } = \frac { D E } { B C } $，即 $ \frac { 8 - 2 x } { 8 } = \frac { y } { 9 } $，
∴ $ y = - \frac { 9 } { 4 } x + 9 ( 0 \leq x \leq 4 ) $，图象略。