《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、新课学习
二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$可化为顶点式为$y = a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}+\dfrac{4ac - b^{2}}{4a}$.
顶点坐标公式：$\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac - b^{2}}{4a}\right)$；
对称轴公式：直线$x = -\dfrac{b}{2a}$；
最值公式：$\dfrac{4ac - b^{2}}{4a}$.
求抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的顶点坐标.
解：$y = ax^{2}+bx + c$
$= a\left(x^{2}+\dfrac{b}{a}x\right)+c$
$= a\left(x^{2}+\dfrac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}} - \frac{b^{2}}{4a^{2}}\right)+c$,
$\therefore y = a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}+\dfrac{4ac - b^{2}}{4a}$,
$\therefore顶点坐标为(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$.

答案： $ \frac{b^{2}}{4a^{2}} $ $ \frac{b^{2}}{4a^{2}} $ $ -\frac{b}{2a} $ $ \frac{4ac - b^{2}}{4a} $

【例题1】求抛物线$y = -\dfrac{1}{2}x^{2}+x - 3$的开口方向、顶点坐标和对称轴.

答案： 解:函数开口方向向下,
$ \because x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2×(-\frac{1}{2})} = 1 $,
$ y = \frac{4ac - b^{2}}{4a} = \frac{4×(-\frac{1}{2})×(-3) - 1^{2}}{4×(-\frac{1}{2})} = -\frac{5}{2} $,
$ \therefore $ 顶点坐标为 $ (1, -\frac{5}{2}) $, 对称轴为直线 $ x = 1 $.

【变式1】求抛物线$y = -2x^{2}+2024x$的开口方向和对称轴.

答案： 解:函数开口方向向下,
对称轴为直线 $ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2024}{2×(-2)} = 506 $.

【例题2】抛物线$y = -x^{2}+6x-\dfrac{1}{2}$的开口方向向下,对称轴为$ x = 3 $,顶点坐标为$ (3, \frac{17}{2}) $,当$x = $3时,$y$有最大值,其值为$ \frac{17}{2} $.

答案： 向下 $ x = 3 $ $ (3, \frac{17}{2}) $ 3 大 $ \frac{17}{2} $

【变式2】对于抛物线$y = -4x + x^{2}-7$,有下列说法：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线$x = 2$；③顶点坐标为$(2,-3)$；④点$\left(-\dfrac{1}{2},-9\right)$在抛物线上. 其中正确的有②(填序号).

答案： ②

【例题3】已知抛物线$y = x^{2}+2mx + m$,其中$m$为常数. 若抛物线的对称轴为直线$x = 2$,求$m$的值及抛物线的解析式.
$m$的值为-2，抛物线的解析式为$y = x^{2} - 4x - 2$.

答案： 解: $ \because $ 抛物线对称轴为直线 $ x = 2 $,
$ \therefore -\frac{b}{2a} = -\frac{2m}{2×1} = 2 $, 得 $ m = -2 $,
将 $ m = -2 $ 代入抛物线, 得 $ y = x^{2} - 4x - 2 $.

【变式3】已知抛物线$y = x^{2}+(m - 1)x-\dfrac{1}{4}的顶点的横坐标是2$,求$m$的值.

答案： 解:由题得, 抛物线顶点的横坐标为 $ x = 2 $, 将 $ x = 2 $ 代入 $ x = -\frac{b}{2a} $, 得 $ -\frac{m - 1}{2×1} = 2 $, 解得 $ m = -3 $.