《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、新课学习

对于二次函数$y = a(x - h)^2$，当$a\gt0$时，抛物线开口向上；当$a\lt0$时，抛物线开口向下。对称轴为直线$x = $$h$。

答案： 【解析】：对于二次函数$y = a(x - h)^2$，当$a\gt0$时，抛物线开口向上；当$a\lt0$时，抛物线开口向下。对称轴为直线$x = h$。
【答案】：上；下；$h$

【例题1】在同一个平面直角坐标系中,画出函数$y = x^2与y = (x + 1)^2$的图象。
列表、描点、连线：

观察图象填空：
| 函数 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| $y = x^2$ | | | |
| $y = (x + 1)^2$ | | | |
归纳：抛物线$y = x^2$向___平移___个单位长度可得到抛物线$y = (x + 1)^2$。

答案：
解：
| $x$ | $\cdots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\cdots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = x^2$ | $\cdots$ | $9$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | $9$ | $\cdots$ |
| $y = (x + 1)^2$ | $\cdots$ | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | $9$ | $16$ | $\cdots$ |

| 图象特征函数 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| --- | --- | --- | --- |
| $y = x^2$ | 向上 | $x = 0$ | $(0, 0)$ |
| $y = (x + 1)^2$ | 向上 | $x = -1$ | $(-1, 0)$ |
归纳：左 $1$

【变式1】在同一个平面直角坐标系中,画出函数$y = -x^2与y = -(x - 1)^2$的图象。
列表、描点、连线：

观察图象填空：
| 函数 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| $y = -x^2$ | | | |
| $y = -(x - 1)^2$ | | | |
归纳：抛物线$y = -x^2$向___平移___个单位长度可得到抛物线$y = -(x - 1)^2$。

答案：
解：
| $x$ | $\cdots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\cdots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = -x^2$ | $\cdots$ | $-9$ | $-4$ | $-1$ | $0$ | $-1$ | $-4$ | $-9$ | $\cdots$ |
| $y = -(x - 1)^2$ | $\cdots$ | $-16$ | $-9$ | $-4$ | $-1$ | $0$ | $-1$ | $-4$ | $\cdots$ |

| 图象特征函数 | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 |
| --- | --- | --- | --- |
| $y = -x^2$ | 向下 | $x = 0$ | $(0, 0)$ |
| $y = -(x - 1)^2$ | 向下 | $x = 1$ | $(1, 0)$ |
归纳：右 $1$

【例题2】将抛物线$y = x^2$向左平移2个单位长度后得到的新的抛物线的解析式为(C)
A. $y = x^2 + 2$
B. $y = x^2 - 2$
C. $y = (x + 2)^2$
D. $y = (x - 2)^2$

答案： C

【变式2】抛物线$y = m(x + n)^2$向左平移2个单位长度后,得到的图象对应的函数解析式是$y = -4(x - 4)^2$,则$m = $$-4$,$n = $$-6$。

答案： $-4$ $-6$

【例题3】抛物线$y = (x + 2)^2$的开口向上,顶点坐标为$(-2, 0)$,对称轴是$x = -2$；当$x ＜ -2$时,$y随x$的增大而减小；当$x = $$-2$时,$y$有最小值,这个值是$0$。

答案： 上 $(-2, 0)$ $x = -2$ 减小 $-2$ 小 $0$

【变式3】在二次函数$y = -(x - 1)^2 + 3$的图象中,若$y随x$的增大而减小,则$x$的取值范围是(C)
A. $x ＞ -1$
B. $x ＜ -1$
C. $x ＞ 1$
D. $x ＜ 1$

答案： C

1. 对于$y = 2(x - 3)^2$的图象,下列叙述错误的是(A)
A.顶点坐标为$(-3, 0)$
B.对称轴为直线$x = 3$
C.当$x ＞ 3$时,$y随x$的增大而增大
D.当$x = 3$时,$y有最小值0$

答案： A

2. 在平面直角坐标系中,函数$y = -x + 1与y = -\frac{3}{2}(x - 1)^2$的图象大致是(D)

答案： D 解析：$\because$ 一次函数 $y = -x + 1$ 中 $k = -1$，且 $b = 1$，$\therefore$ 直线 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，且交于 $y$ 轴于正半轴；由题目得二次函数中的 $a ＜ 0$，$\therefore$ 其图象开口向下，且图象顶点为 $(1, 0)$，$\therefore$ 顶点在 $x$ 轴正半轴上，故选 D.

3. (创新题)如图,将抛物线$y = x^2向右平移a$个单位长度后,顶点为$A$,与$y轴交于点B$,且$\triangle AOB$为等腰直角三角形,求$a$的值。

$a$的值为1。

答案： 解：平移后的抛物线的解析式为 $y = (x - a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$，则点 $A(a, 0)$，令 $x = 0$，则 $y = a^2$，$\therefore B(0, a^2)$，$\because \triangle AOB$ 为等腰直角三角形，$\therefore a = a^2$，解得 $a = 1$ 或 $a = 0$（舍去），故 $a$ 的值为 $1$.

4. 二次函数$y = \sqrt{3}(x - 4)^2$的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是(A)
A.向上,直线$x = 4$,$(4, 0)$
B.向上,直线$x = -4$,$(-4, 0)$
C.向上,直线$x = 4$,$(0, 4)$
D.向下,直线$x = -4$,$(0, -4)$

答案： A