《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、新课学习


相等相等
四边形 $ABCD \sim$ 四边形 $A'B'C'D'$
$\angle A = \angle A'$，$\angle B = \angle B'$，$\angle C = \angle C'$，$\angle D = \angle D'$
$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CD}{C'D'} = \frac{AD}{A'D'}$ 对应边相等
对应边的比 $\angle A = \angle A'$，$\angle B = \angle B'$，$\angle C = \angle C'$，$\angle D = \angle D'$
$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CD}{C'D'} = \frac{AD}{A'D'}$
四边形 $ABCD \sim$ 四边形 $A'B'C'D'$

答案： 相等 相等
四边形 $ABCD \sim$ 四边形 $A'B'C'D'$
$\angle A = \angle A'$，$\angle B = \angle B'$，$\angle C = \angle C'$，$\angle D = \angle D'$
$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CD}{C'D'} = \frac{AD}{A'D'}$ 对应边 相等
对应边的比 $\angle A = \angle A'$，$\angle B = \angle B'$，$\angle C = \angle C'$，$\angle D = \angle D'$
$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CD}{C'D'} = \frac{AD}{A'D'}$
四边形 $ABCD \sim$ 四边形 $A'B'C'D'$

【例题1】如图,四边形CDEF与四边形$C'D'E'F'$相似,求未知边x,y的长度和$∠β$的度数.

x=12，y=20，∠β=80°.

答案： 解：
∵ 四边形 $CDEF$ 与四边形 $C'D'E'F'$ 相似，
∴ $\frac{4}{16} = \frac{3}{x} = \frac{5}{y}$，解得 $x = 12$，$y = 20$。
∵ $\angle E' = \angle E = 125^{\circ}$，
∴ $\angle \beta = 360^{\circ} - \angle C' - \angle D' - \angle E' = 360^{\circ} - 80^{\circ} - 75^{\circ} - 125^{\circ} = 80^{\circ}$。

【变式1】(人教九下P27教材改编)如图,$△ABC与△DEF$相似,BC的对应边是EF,AB的对应边是DE,$∠B$,$∠E$为钝角,求未知边x,y的长度.x=12，y=7.

答案： 解：
∵ $\triangle ABC \sim \triangle DEF$，
∴ $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$，即 $\frac{14}{y} = \frac{16}{8} = \frac{24}{x}$，
解得 $x = 12$，$y = 7$。

【例题2】如图,菱形ABCD的边长为1,$∠B= 60^{\circ }$,菱形$A'B'C'D'$的边长为2,$∠C'= 120^{\circ }$.
(1) 求证：菱形ABCD与菱形$A'B'C'D'$相似；
(2) 菱形ABCD与菱形$A'B'C'D'$的相似比k= ____$\frac{1}{2}$.

答案：
(1) 证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形，$\angle B = 60^{\circ}$，
∴ $\angle A = 120^{\circ}$，$\angle C = 120^{\circ}$，$\angle D = 60^{\circ}$。
∵ 四边形 $A'B'C'D'$ 是菱形，$\angle C' = 120^{\circ}$，
∴ $\angle A' = 120^{\circ}$，$\angle B' = 60^{\circ}$，$\angle D' = 60^{\circ}$，
∴ $\angle A = \angle A'$，$\angle B = \angle B'$，$\angle C = \angle C'$，$\angle D = \angle D'$，
又
∵ $\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CD}{C'D'} = \frac{AD}{A'D'} = \frac{1}{2}$，
∴ 菱形 $ABCD \sim$ 菱形 $A'B'C'D'$。
(2) $\frac{1}{2}$

【变式2】如图,把一个矩形ABCD划分成三个全等的小矩形.
(1) 若原矩形ABCD的长$AB= 6$,宽$BC= 4$. 问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由；
(2) 若$AB= a$,宽$BC= b$,且每个小矩形与原矩形相似,则a与b应满足解析式：____$a^2 = 3b^2$.

答案：
(1) 解：不相似。理由如下：
∵ 原矩形 $ABCD$ 的长 $AB = 6$，宽 $BC = 4$，
∴ 划分后小矩形的长为 $AD = 4$，宽为 $AE = 6 ÷ 3 = 2$，
又
∵ $\frac{AB}{AD} \neq \frac{BC}{AE}$，即原矩形与每个小矩形的对应边不成比例，
∴ 每个小矩形与原矩形不相似。
(2) $a^2 = 3b^2$ 解析：
∵ 原矩形的长 $AB = a$，宽 $BC = b$，
∴ 划分后小矩形的长为 $AD = b$，宽为 $AE = \frac{a}{3}$，又
∵ 每个小矩形与原矩形相似，
∴ $\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{AE}$，
∴ $\frac{a}{b} = \frac{b}{\frac{a}{3}}$，即 $a^2 = 3b^2$。