《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.(2024·东莞二模)综合与实践.
主题:制作圆锥形生日帽.
素材:一张圆形纸板、装饰彩带.
步骤1:如图1,将一个底面半径为r的圆锥侧面展开,可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形.制作圆锥形生日帽时,要先确定扇形的圆心角度数,再度量裁剪材料.
步骤2:如图2,把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽,

(1)现在需要制作一个r= 10 cm,l= 30 cm的生日帽,请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数;
(2)为了使(1)中所制作的生日帽更美观,要粘贴彩带进行装饰,其中需要粘贴一条从点A处开始,绕侧面一周又回到点A的彩带(彩带宽度忽略不计),求彩带长度的最小值.

答案：
解：
(1)
∵ $ r = 10 \mathrm { cm } $，$ l = 30 \mathrm { cm } $，
$ \frac { 1 } { 2 } × 2 \pi r × l = \frac { n \pi l ^ { 2 } } { 360 } $．
$ \therefore n = \frac { 360 r } { l } = \frac { 360 × 10 } { 30 } = 120 $
$ \therefore $ 扇形纸板的圆心角度数为 $ 120 ^ { \circ } $；
(2) 如图所示，连接 $ A A ^ { \prime } $，过点 $ P $ 作 $ P H \perp A A ^ { \prime } $，线段 $ A A ^ { \prime } $ 就是彩带长度的最小值，

由
(1) 得 $ P A = P A ^ { \prime } = 30 \mathrm { cm } $，$ \angle A P A ^ { \prime } = 120 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle A P H = \angle A ^ { \prime } P H = 60 ^ { \circ } $，$ A H = A ^ { \prime } H $，
$ \therefore \angle P A ^ { \prime } H = 30 ^ { \circ } $，
$ \therefore P H = \frac { 1 } { 2 } P A = 15 \mathrm { cm } $．
$ \therefore A H = \sqrt { A P ^ { 2 } - P H ^ { 2 } } = 15 \sqrt { 3 } \mathrm { cm } $，
$ \therefore A A ^ { \prime } = 2 A H = 30 \sqrt { 3 } \mathrm { cm } $，
$ \therefore $ 彩带长度的最小值为 $ 30 \sqrt { 3 } \mathrm { cm } $．