《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一、新课学习
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

答案： 一、新课学习
经过半径的外端 半径的直线

【例题1】如图,$ OA $ 是 $ \odot O $ 的半径,$ \angle B = 30^\circ $,$ \angle AOB = 60^\circ $. 求证：$ AB $ 是 $ \odot O $ 的切线.

证明:∵∠B=30°，∠AOB=60°，
∴∠OAB=180°−∠B−∠AOB=90°，
又∵OA是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线。

答案： 证明:
∵∠B=30°，∠AOB=60°，
∴∠OAB=180°−∠B−∠AOB=90°，
又
∵OA是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线。

【变式1】如图,$ \angle A = 45^\circ $,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,请你添加一个条件,使 $ BC $ 是 $ \odot O $ 的切线,你所添加的条件为∠C=45°.

答案： ∠C=45°

【例题2】如图,$ A $ 是 $ \odot O $ 外一点,$ B $ 为 $ \odot O $ 上一点,$ AO $ 的延长线交 $ \odot O $ 于点 $ C $,$ \angle C = 25^\circ $,$ \angle A = 40^\circ $,求证：直线 $ AB $ 为 $ \odot O $ 的切线.

答案：
证明:如图，连接OB。

∵∠C=25°，∠A=40°，
∴∠CBA=115°。
又
∵OB=OC，
∴∠CBO=25°。
∴∠ABO=90°。
又
∵OB是⊙O半径，
∴AB为⊙O的切线。

【变式2】如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AC = BC $,以 $ BC $ 为直径的 $ \odot O $ 与底边 $ AB $ 交于点 $ D $,过点 $ D $ 作 $ DE \perp AC $,垂足为 $ E $. 求证：$ DE $ 为 $ \odot O $ 的切线.

答案：
解:如图，连接OD。

∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠ABC，
∴∠ODB=∠A，
∴OD//AC，
又
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线。

【例题3】(人教九上 P99 教材改编)如图,$ D $ 是 $ \angle AOB $ 的平分线 $ OC $ 上任意一点,过点 $ D $ 作 $ DE \perp OB $ 于点 $ E $,以点 $ D $ 为圆心,以 $ DE $ 长为半径作 $ \odot D $. 求证：$ OA $ 是 $ \odot D $ 的切线.

答案：
证明:如图，过点D作DF⊥OA于点F。

∵D是∠AOB的平分线OC上任意一点，DE⊥OB，
∴DF=DE，即D到直线OA的距离等于⊙D的半径DE，
∴OA是⊙D的切线。

【变式3】如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ D $ 为边 $ AC $ 上一点,连接 $ BD $,以点 $ D $ 为圆心,$ DA $ 为半径作圆,$ \odot D $ 与 $ AB $ 相切,与 $ AC $ 相交于点 $ E $,已知 $ AC = 4AD $,$ BC = 3AB $. 求证：$ BC $ 是 $ \odot D $ 的切线.

答案：
证明:如图,过点D作DF⊥BC于点F。

∵⊙D与AB相切于点A，
∴AB⊥AC，
由题意，得S△ABD= $\frac{1}{2}$AB·AD，
S△ABC= $\frac{1}{2}$AB·AC，
∵AC=4AD，
∴S△ABC=4S△ABD，
∴S△BCD=S△ABC - S△ABD=3S△ABD，
∵BC=3AB，S△BCD= $\frac{1}{2}$BC·DF，
∴DF=AD，即DF是⊙D的半径，
∴BC是⊙D的切线。