《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

5.如图,在O0 中,直径AB 和弦 CD 相交于点E,已知AE=1 cm,EB=5 cm,且∠DEB=60°，求 CD 的长.（提示:过0作 OP⊥CD于P,连接 OD)

答案：
解:如图，连接 $ OD $，过点 $ O $ 作 $ OP \perp CD $ 于点 $ P $。

∵ $ OP \perp CD $，
∴ $ CP = PD $。
∵ $ AE = 1 \, \text{cm} $，$ EB = 5 \, \text{cm} $，
∴ $ \odot O $ 的半径为 3，
∴ $ OE = OA - AE = 2 \, \text{cm} $。
在 $ Rt\triangle OPE $ 中，
∵ $ \angle PEO = 60^{\circ} $，
∴ $ \angle POE = 30^{\circ} $，$ OP = \sqrt{3} \, \text{cm} $。
在 $ Rt\triangle OPD $ 中，$ PD = \sqrt{OD^{2} - OP^{2}} = \sqrt{6} \, \text{cm} $，
∴ $ CD = 2PD = 2\sqrt{6} \, \text{cm} $。

6. 已知 $ AB $,$ CD $ 是 $ \odot O $ 的两条平行弦,$ AB = 8 $,$ CD = 6 $,$ \odot O $ 的半径为 5,则弦 $ AB $ 与 $ CD $ 的距离为( )

A.1
B.7
C.4 或 3
D.7 或 1

答案：
解析:如图，连接 $ OA $，$ OC $，作 $ OE \perp AB $ 于点 $ E $，$ OF \perp CD $ 于点 $ F $，
∴ $ EF \perp CD $。
∵ $ OE \perp AB $，
∴ $ AE = \frac{1}{2}AB = 4 $。在 $ Rt\triangle AOE $ 中，$ OE = \sqrt{OA^{2} - AE^{2}} = 3 $。
∵ $ OF \perp CD $，
∴ $ CF = \frac{1}{2}CD = 3 $。
在 $ Rt\triangle CFO $ 中，$ OF = \sqrt{OC^{2} - CF^{2}} = 4 $。故当 $ AB $，$ CD $ 在不同半圆时，$ EF = OE + OF = 7 $；当 $ AB $，$ CD $ 在同个半圆上时，$ EF = OF - OE = 1 $。故选 D。