《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

【例题1】用直接开方法解方程：$x^{2}-4= 0$。

答案： 解：$x^{2}=4$，
$\therefore x=\pm 2$，
$\therefore x_{1}=2$，$x_{2}=-2$。

【变式1】解方程：$25(x-6)^{2}= 169$。

答案： 解：$(x-6)^{2}=\frac {169}{25}$，
$\therefore (x-6)=\pm \frac {13}{5}$，
$\therefore x_{1}=\frac {43}{5}$，$x_{2}=\frac {17}{5}$。

【例题2】用因式分解法解方程：$4x-x^{2}= 0$。

答案： 解：原方程整理，得$x(4-x)=0$，
$\therefore x=0$或$4-x=0$，
$\therefore x_{1}=0$，$x_{2}=4$。

【变式2】(2024·深圳期中)解方程：$x(x-2)= 2-x$。

答案： 解：原方程整理，得
$x(x-2)+x-2=0$，
$(x-2)(x+1)=0$，
$\therefore x-2=0$或$x+1=0$，
$\therefore x_{1}=2$，$x_{2}=-1$。

【例题3】用配方法解方程：$x^{2}-2x-3= 0$。

答案： 解：$x^{2}-2x=3$，
$x^{2}-2x+1=3+1$，
$(x-1)^{2}=4$，
$x-1=\pm 2$，
$\therefore x_{1}=3$，$x_{2}=-1$。

【变式3】用配方法解方程：$3x^{2}+6x-1= 0$。

答案： 解：$x^{2}+2x-\frac {1}{3}=0$，
$x^{2}+2x=\frac {1}{3}$，
$x^{2}+2x+1=\frac {1}{3}+1$，
$(x+1)^{2}=\frac {4}{3}$，
$x+1=\pm \frac {2\sqrt {3}}{3}$，
$\therefore x=\pm \frac {2\sqrt {3}}{3}-1$，
$\therefore x_{1}=\pm \frac {2}{2}\sqrt {3}-1$，$x_{2}=-\frac {2}{3}\sqrt {3}-1$。

【例题4】用公式法解方程：$x^{2}-3x-2= 0$。

答案： 解：$\because a=1$，$b=-3$，$c=-2$，
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=9+8=17＞0$，
$\therefore x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}=\frac {3\pm \sqrt {17}}{2}$，
$\therefore x_{1}=\frac {3+\sqrt {17}}{2}$，$x_{2}=\frac {3-\sqrt {17}}{2}$。

【变式4】解方程：$2x^{2}-x-1= 0$。

答案： 解：$\because a=2$，$b=-1$，$c=-1$，
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=1+8=9＞0$，
$\therefore x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}=\frac {1\pm 3}{4}$，
$\therefore x_{1}=1$，$x_{2}=-\frac {1}{2}$。

【例题5】用十字相乘法解方程。
(1)$x^{2}-7x+12= 0$；原方程整理，得$(x-3)(x-4)=0$，$x-3=0$或$x-4=0$，$\therefore x_{1}=3$，$x_{2}=4$
(2)$\frac {1}{2}x(x-1)= 45$。原方程两边乘2，去括号、移项、整理，得$x^{2}-x-90=0$，$(x+9)(x-10)=0$，$\therefore x+9=0$或$x-10=0$，$\therefore x_{1}=-9$，$x_{2}=10$

答案： 解：（1）原方程整理，得
$(x-3)(x-4)=0$，
$x-3=0$或$x-4=0$，
$\therefore x_{1}=3$，$x_{2}=4$；
（2）原方程两边乘2，去括号、移项、整理，得
$x^{2}-x-90=0$，
$(x+9)(x-10)=0$，
$\therefore x+9=0$或$x-10=0$，
$\therefore x_{1}=-9$，$x_{2}=10$。

【变式5】用十字相乘法解方程。
(1)$x^{2}-x-12= 0$；原方程整理，得$(x+3)(x-4)=0$，$\therefore x+3=0$或$x-4=0$，$\therefore x_{1}=-3$，$x_{2}=4$
(2)$(8-2x)(6-2x)= 24$。原方程去括号、移项、整理，得$4x^{2}-28x+24=0$，$x^{2}-7x+6=0$，$(x-1)(x-6)=0$，$\therefore x-1=0$或$x-6=0$，$\therefore x_{1}=1$，$x_{2}=6$

答案： 解：（1）原方程整理，得
$(x+3)(x-4)=0$，
$\therefore x+3=0$或$x-4=0$，
$\therefore x_{1}=-3$，$x_{2}=4$；
（2）原方程去括号、移项、整理，得
$4x^{2}-28x+24=0$，
$x^{2}-7x+6=0$，
$(x-1)(x-6)=0$，
$\therefore x-1=0$或$x-6=0$，
$\therefore x_{1}=1$，$x_{2}=6$。

【例题6】阅读材料,解答问题。
为解方程$(x^{2}-1)^{2}-5(x^{2}-1)+4= 0$,我们可以将$x^{2}-1$视为一个整体,设$x^{2}-1= y$,则原方程可化为$y^{2}-5y+4= 0$,解得$y_{1}= 1,y_{2}= 4$。
当$y= 1$时,$x^{2}-1= 1,\therefore x^{2}= 2$,即$x= \pm \sqrt {2}$；
当$y= 4$时,$x^{2}-1= 4,\therefore x^{2}= 5$,即$x= \pm \sqrt {5}$。
∴原方程的解为$x_{1}= \sqrt {2},x_{2}= -\sqrt {2},x_{3}= \sqrt {5},x_{4}= -\sqrt {5}$。
请用上面的方法解方程：$x^{4}-x^{2}-6= 0$。
原方程的解为______$x_{1}=\sqrt {3}$，$x_{2}=-\sqrt {3}$。

答案： $x_{1}=\sqrt {3}$，$x_{2}=-\sqrt {3}$ 解析：设$x^{2}=y$，则原方程可化为$y^{2}-y-6=0$，$(y+2)(y-3)=0$，$\therefore y+2=0$或$y-3=0$，解得$y_{1}=-2$，$y_{2}=3$。①当$y=-2$时，即$x^{2}=-2$，$x$无实数解；②当$y=3$时，即$x^{2}=3$，解得$x=\pm \sqrt {3}$。$\therefore$原方程的解为$x_{1}=\sqrt {3}$，$x_{2}=-\sqrt {3}$。

【变式6】解方程$(x^{2}-2x)^{2}-4(x^{2}-2x)+3= 0$。
(1)设$y= x^{2}-2x$,则原方程可化为$y^{2}-4y+3=0$；
(2)用换元法解原方程。
解：由（1）得$y^{2}-4y+3=0$，
$(y-1)(y-3)=0$，
$y-1=0$或$y-3=0$，
解得$y_{1}=1$，$y_{2}=3$，
①当$y=1$时，即$x^{2}-2x=1$，
解得$x=1\pm \sqrt {2}$；
②当$y=3$时，即$x^{2}-2x=3$，
解得$x=-1$或$x=3$。
$\therefore$原方程的解为$x_{1}=1+\sqrt {2}$，
$x_{2}=1-\sqrt {2}$，$x_{3}=-1$，$x_{4}=3$。

答案： 解：（1）$y^{2}-4y+3=0$
（2）由（1）得$y^{2}-4y+3=0$，
$(y-1)(y-3)=0$，
$y-1=0$或$y-3=0$，
解得$y_{1}=1$，$y_{2}=3$，
①当$y=1$时，即$x^{2}-2x=1$，
解得$x=1\pm \sqrt {2}$；
②当$y=3$时，即$x^{2}-2x=3$，
解得$x=-1$或$x=3$。
$\therefore$原方程的解为$x_{1}=1+\sqrt {2}$，
$x_{2}=1-\sqrt {2}$，$x_{3}=-1$，$x_{4}=3$。