《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. (应用意识)如图,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高$y$(单位:$cm$)是物距(小孔到蜡烛的距离)$x$(单位:$cm$)的反比例函数,当$x = 6$时,$y = 2$.
(1)求$y关于x$的函数解析式;$y = \frac{12}{x}$
(2)若小孔到蜡烛的距离为$4cm$,求火焰的像高.$3$

答案： 解：
(1) 由题意设 $ y = \frac{k}{x} $，
把 $ x = 6 $，$ y = 2 $ 代入，得 $ k = 6 × 2 = 12 $，
$ \therefore y $ 关于 $ x $ 的函数解析式为 $ y = \frac{12}{x} $；
(2) 把 $ x = 4 $ 代入 $ y = \frac{12}{x} $，得 $ y = 3 $，
$ \therefore $ 火焰的像高为 $ 3 $ cm.

2. (综合探究)如图,矩形$OABC的边OA$,$OC分别在x$轴,$y$轴的正半轴上,且$OA = 3$,$OC = 2$,将矩形$OABC向上平移4个单位得到矩形O_{1}A_{1}B_{1}C_{1}$.
(1)若反比例函数$y= \frac{k_{1}}{x}和y= \frac{k_{2}}{x}的图象分别经过点B$,$B_{1}$,求$k_{1}和k_{2}$的值;$k_{1}=$6，$k_{2}=$18
(2)将矩形$O_{1}A_{1}B_{1}C_{1}向左平移得到矩形O_{2}A_{2}B_{2}C_{2}$,当点$O_{2}$,$B_{2}在反比例函数y= \frac{k_{3}}{x}$的图象上时,求平移的距离和$k_{3}$的值.平移的距离为9，$k_{3}=$-36

答案： 解：
(1) $ \because $ 矩形 $ OABC $ 的边 $ OA $，$ OC $ 分别在 $ x $ 轴、$ y $ 轴的正半轴上，且 $ OA = 3 $，$ OC = 2 $，
$ \therefore B(3, 2) $，
$ \because $ 反比例函数 $ y = \frac{k_1}{x} $ 的图象分别经过点 $ B $，
$ \therefore k_1 = 3 × 2 = 6 $；
$ \because $ 将矩形 $ OABC $ 向上平移 $ 4 $ 个单位得到矩形 $ O_1A_1B_1C_1 $，$ \therefore B_1(3, 6) $，
$ \because $ 反比例函数 $ y = \frac{k_2}{x} $ 的图象经过点 $ B_1 $，
$ \therefore k_2 = 3 × 6 = 18 $；
(2) 设将矩形 $ O_1A_1B_1C_1 $ 向左平移 $ a $ 个单位得到 $ O_2A_2B_2C_2 $，则 $ O_2(-a, 4) $，$ B_2(3 - a, 6) $，
$ \because $ 点 $ O_2 $、$ B_2 $ 在反比例函数 $ y = \frac{k_3}{x} $ 的图象上，$ \therefore k_3 = -4a = 6(3 - a) $，
解得 $ a = 9 $，$ k_3 = -36 $.