《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. (跨学科融合)自由落体运动中,物体降落的高度$h$(m)与下落时间$t$(s)的关系为$h= \frac {1}{2}gt^{2}$($g$为重力加速度). 若物体降落的高度为$176.4m$,$g= 9.8m/s^{2}$,则该物体降落的时间为6s.

答案： 6

2. (跨学科拓展)黄金分割由于其美学性质,受到摄影爱好者和艺术家的喜爱,摄影中有一种拍摄手法叫做黄金构图法,其原理是:如图,在正方形$ABCD的底边BC取中点E$,以点$E$为圆心,线段$DE$为半径作弧,其与底边$BC的延长线相交于点F$,这样就把正方形$ABCD延伸为矩形ABFG$,称为黄金矩形. 若$CF= 2$,则$AB= $$\sqrt{5}+1$. (结果保留根号)

答案： $\sqrt{5}+1$

3. (阅读理解、数形结合)《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如$x(x+3)= 10$的方程的正数解:如图,将四个长为$x+3$,宽为$x$的矩形(面积均为$10$)拼成一个大正方形,于是大正方形的面积为$10×4+3^{2}= 49$,则大正方形的边长为$7$,即$x+x+3= 7$. 故得$x(x+3)= 10的正数解为2$. 小杰按此方法解关于$x的方程x^{2}+mx-n= 0$时,构造出类似的图形. 已知大正方形的面积为$40$,小正方形的面积为$16$,则$m和n$的值分别是(C)

A.$6,4$
B.$10,\sqrt {40}$
C.$4,6$
D.$\sqrt {40},10$

答案： C

4. (人教九上 P23)[小高斯公式]如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点……第n行有n个点……
(1)容易发现,10是三角点阵中前4行的点数和. 你能发现36是前多少行的点数和吗? 8
(2)三角点阵中前n行的点数和能是300吗? 如果能,求出n;如果不能,试用一元二次方程说明理由.
解：假设能，设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有$\frac{1}{2}n(n+1)=300$。整理，得$n^{2}+n-600=0$，判别式$\Delta=1^{2}-4×1×(-600)=2401$，解得$n_{1}=\frac{-1+\sqrt{2401}}{2}=\frac{-1+49}{2}=24$，$n_{2}=\frac{-1-\sqrt{2401}}{2}=\frac{-1-49}{2}=-25$（不合题意，舍去）。因为n为正整数，所以三角点阵中前24行的点数和是300，能，n=24。

答案： 解：
(1)由探索可知：$2×[1+2+3+... +(n-2)+(n-1)+n]=n(n+1)$，
假设能，设三角点阵中前$n$行的点数的和为36，则有$\frac{1}{2}n(n+1)=36$。
整理，得$n^{2}+n-72=0$，
解得$n_{1}=8$，$n_{2}=-9$（不合题意，舍去）。
∴三角点阵中前8行的点数的和是36。