《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. (2025·花都期末)在半径为$10cm$的圆中,$90^{\circ}$的圆心角所对的弧长是(A)
A.$5\pi cm$
B.$10\pi cm$
C.$15\pi cm$
D.$20cm$

答案： A

2. 在半径为$6cm$的圆中,长为$2\pi cm$的弧所对的圆心角的度数为(A)
A.$60^{\circ}$
B.$100^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$130^{\circ}$

答案： A

3. 若一个扇形的圆心角为$45^{\circ}$,它所对的弧长为$2\pi cm$,则这个扇形的半径为(A)
A.$8cm$
B.$12cm$
C.$2\sqrt{2}cm$
D.$4cm$

答案： A

4. (人教九上P111教材改编)制造弯形管道时,先按中心线计算其“展直长度”,再下料,根据如图所示的图形,则管道的展直长度约为389mm.(结果取整数)

答案： 389

5. (2025·番禺期末)如图,分别以等边$\triangle ABC$的三个顶点为圆心,边长为半径画弧,得到的封闭图形是莱洛三角形. 若$AB = 2$,则此莱洛三角形的周长为$2 \pi$.

答案： $2 \pi$

6. 如图,$A$,$B$,$C是\odot O$上三点,若$\angle ABC = 120^{\circ}$,$\odot O的半径为1$,劣弧$\overset{\frown}{AC}的长= $$\frac{2}{3} \pi$.

答案： $\frac{2}{3} \pi$

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,点$O在边AC$上,以$O$为圆心,$4为半径的圆恰好过点C$,且与边$AB相切于点D$,交$BC于点E$,则劣弧$\overset{\frown}{DE}$的长是(结果保留$\pi$).

答案：
$2 \pi$ 解析:连接$OD$，$OE$，$\because OC = OE$，$\therefore \angle OCE = \angle OEC$，$\because AB = AC$，$\therefore \angle ABC = \angle ACB$，$\because \angle A + \angle ABC + \angle ACB = \angle COE + \angle OCE + \angle OEC$，$\therefore \angle A = \angle COE$，$\because \odot O$与边$AB$相切于点$D$，$\therefore \angle ADO = 90°$，$\therefore \angle A + \angle AOD = 90°$，$\therefore \angle COE + \angle AOD = 90°$，$\therefore \angle DOE = 180° - (\angle COE + \angle AOD) = 90°$，$\therefore$劣弧$\overset{\frown}{DE}$的长是$\frac{90 × \pi × 4}{180} = 2 \pi$.

8. 如图,在平面直角坐标系中,$\odot A经过原点O$,并且分别与$x$轴、$y轴交于B$,$C$两点,已知点$B(2\sqrt{3},0)$,$C(0,2)$,求$\odot A的半径和劣弧\overset{\frown}{OB}$的长.

答案：
解:如图，连接$OA$，$BC$.

$\because \angle COB = 90°$，且点$O$，$C$，$B$三点都在$\odot A$上，$\therefore BC$是$\odot A$的直径，$\triangle OBC$为直角三角形。又$\because$点$B$的坐标为$(2 \sqrt{3}, 0)$，点$C$的坐标为$(0, 2)$，$\therefore BC = \sqrt{(2 \sqrt{3})^2 + 2^2} = 4$，$\therefore \odot A$的半径为$2$，$\therefore \angle OAC = 60°$，$\therefore \angle OAB = 120°$，$\therefore \overset{\frown}{OB}$的长为$\frac{120 × \pi × 2}{180} = \frac{4}{3} \pi$.