《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

5.如图,在等腰直角三角形$ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ}$,点$D$,$E在边BC$上,且$∠DAE= 45^{\circ}$,将$△ABD绕点A逆时针旋转90^{\circ}得到△ACF$,连接$EF$.
(1)求证:$DE= EF$;
（2)若AB=6√2，BD=4,求 CE的长.3

答案：
(1)证明：
∵将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，
∴∠BAD = ∠CAF，AD = AF。
∵∠BAC = 90°，∠DAE = 45°，
∴∠BAD + ∠CAE = ∠BAC−∠DAE = 45°，
∴∠CAF + ∠CAE = ∠BAC−∠DAE = 45°，
即∠EAF = 45°，
∴∠EAF = ∠DAE。
又
∵AE = AE，
∴△DAE≌△FAE(SAS)。
∴DE = EF。
(2)解：
∵将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，
∴∠ACF = ∠B，CF = BD = 4。
在等腰直角三角形ABC中，
∠BAC = 90°，
∴∠B = ∠ACB = 45°，AB = AC = 6√2，
∴∠ACF = 45°，BC = √(AB² + AC²)= 12，
∴∠ECF = ∠ACB + ∠ACF = 90°。
∵BD = 4，
∴DE + CE = BC−BD = 8。
由
(1)知DE = EF，
∴EF + CE = 8，即EF = 8−CE。
在Rt△ECF中，由勾股定理，得CE² + CF² = EF²，即CE² + 4² = (8−CE)²，
解得CE = 3。

6.如图,正方形$ABCD的边长为9$,$E$,$F分别是边AB$,$BC$上的点,且$∠EDF= 45^{\circ}$,将$△DAE绕点D逆时针旋转90^{\circ}得到△DCM$,连接$EF$.
(1)求证:$EF= MF$;
(2)当$AE= 3$时,求$EF$的长.

(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A = ∠ADC = ∠BCD = 90°。
由旋转的性质，得DE = DM，∠ADC = ∠EDM = 90°，∠DCM = ∠A = 90°。
∵∠MCF = ∠DCM + ∠BCD = 180°，
∴点F，C，M在同一条直线上。
又∵∠EDF = 45°，
∴∠MDF = ∠EDF = 45°。
在△DEF和△DMF中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { D E = D M, } \\ { \angle E D F = \angle M D F, } \\ { D F = D F, } \end{array} \right. $
∴△DEF≌△DMF(SAS)，
∴EF = MF；
(2)解：由题意，得AB = BC = 9。
∵AE = 3，
∴BE = AB−AE = 6，CM = AE = 3。
设CF = x，则BF = 9−x，EF = MF = 3 + x。
在Rt△EBF中，BE² + BF² = EF²，
即6² + (9−x)² = (3 + x)²。
解得x = 9/2，
∴EF = 3 + x = 15/2。

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A = ∠ADC = ∠BCD = 90°。
由旋转的性质，得DE = DM，∠ADC = ∠EDM = 90°，∠DCM = ∠A = 90°。
∵∠MCF = ∠DCM + ∠BCD = 180°，
∴点F，C，M在同一条直线上。
又
∵∠EDF = 45°，
∴∠MDF = ∠EDF = 45°。
在△DEF和△DMF中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { D E = D M, } \\ { \angle E D F = \angle M D F, } \\ { D F = D F, } \end{array} \right. $
∴△DEF≌△DMF(SAS)，
∴EF = MF；
(2)解：由题意，得AB = BC = 9。
∵AE = 3，
∴BE = AB−AE = 6，CM = AE = 3。
设CF = x，则BF = 9−x，EF = MF = 3 + x。
在Rt△EBF中，BE² + BF² = EF²，
即6² + (9−x)² = (3 + x)²。
解得x = 9/2，
∴EF = 3 + x = 15/2。

7.如图,$△ABC$为等边三角形,点$D$,$E分别在线段BC及BC$的延长线上,连接$AE$,$AD$.若$∠EAD= 30^{\circ}$,$DC= 3$,$CE= 4$.求$BD$的长.

解：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACF，连接FE。则∠DAF = 60°。
∵∠EAD = 30°，∴∠EAF = 30°，
∴∠EAF = ∠EAD。
∵△ABD≌△ACF，
∴∠ACF = ∠ABC = 60°，AF = AD，BD = CF。
∵AE = AE，∴△ADE≌△AFE，
∴EF = DE = 7。
过点E作EH⊥FC于点H，
∵∠FCE = 180°−(∠ACF + ∠ACB)= 60°，
∴∠HEC = 30°，∴CH = 1/2 CE = 2，
∴HE = √3CH = 2√3，
∴HF = √(7²−(2√3)²)= √37，
∴BD = CF = 2 + √37。

答案： 解：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACF，连接FE。则∠DAF = 60°。
∵∠EAD = 30°，
∴∠EAF = 30°，
∴∠EAF = ∠EAD。
∵△ABD≌△ACF，
∴∠ACF = ∠ABC = 60°，AF = AD，BD = CF。
∵AE = AE，
∴△ADE≌△AFE，
∴EF = DE = 7。
过点E作EH⊥FC于点H，
∵∠FCE = 180°−(∠ACF + ∠ACB)= 60°，
∴∠HEC = 30°，
∴CH = 1/2 CE = 2，
∴HE = 3CH = 2√3，
∴HF = √(7²−(2√3)²)= √37，
∴BD = CF = 2 + √37。