《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

11. 如图,将矩形 $ ABCD $ 绕点 $ B $ 旋转得到矩形 $ HBEF $,点 $ E $ 在 $ AD $ 上,连接 $ CE $,$ CH $.
(1) 求证：$ EC $ 平分 $ \angle BED $；
(2) 若 $ BC = 4 $,$ \angle EBC = 30^{\circ} $,求 $ CH $ 的长度.

答案：

(1) 证明：由旋转性质可得，$BE = BC$，
∴ $∠BEC = ∠BCE$。
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $AD // BC$。
∴ $∠DEC = ∠BCE$。
∴ $∠BEC = ∠DEC$。
∴ $EC$ 平分 $∠BED$。
(2) 解：如图，过点 $C$ 作 $CG \perp BE$ 于点 $G$，设 $BE$ 与 $HC$ 交于点 $M$，

又
∵ $∠EBC = 30^{\circ}$，$BC = 4$，
∴ $CG = 2$，$BG = 2\sqrt{3}$。
∵ $EC$ 平分 $∠BED$，$CG \perp BE$，$CD \perp ED$。
∴ $CG = CD = NB$。又
∵ $∠HBM = ∠CGM = 90^{\circ}$，$∠HMB = ∠CMG$，
∴ $△HBM \cong △CGM(AAS)$。
∴ $MG = BM = \frac{1}{2}BG = \sqrt{3}$，$CM = HM$。
∴ 在 $Rt△MGC$ 中，$MC = \sqrt{CG^{2} + MG^{2}} = \sqrt{4 + 3} = \sqrt{7}$。
∴ $CH = 2MC = 2\sqrt{7}$。